Общая теория статистики

Методическое пособие - Математика и статистика

Другие методички по предмету Математика и статистика

?я в замене индивидуальных значений признака их средним показателем. При этом общий объём совокупности остаётся неизменным.

Пример: есть данные о выработке 5 рабочих: 135, 141, 153, 159, 162. Определить среднюю выработку. .

Средние величины, которые необходимо знать наизусть:

- средняя арифметическая;

средняя гармоническая;

средняя хронологическая;

средняя квадратическая, кубическая;

средняя геометрическая;

структурные средние: мода, медиана.

. Средняя арифметическая: чаще всего в статистике и социально-экономических исследованиях применяется арифметическая величина.

Средняя арифметическая простая рассматривается в случаях, когда значение признака повторяется один или одинаковое число раз в ряде распределения:

, где n-количество единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, когда каждое значение признака повторяется неодинаковое число раз, или частота ряда распределения превышает единицу хотя бы для одного признака:

, где f-вес.(сколько раз повторяется каждая еденица совокупности)

. Средняя гармоническая: в ряде случаев бывают известны варианты (x) и произведения варианты на частоту (x•f), в то время как сами частоты (f) неизвестны, тогда применяется средняя гармоническая, которая бывает простой и взвешенной.

Произведение x•f выражается через сложный экономический показатель M (M= x•f). Для расчёта средней величины, когда x•f =M=1, применяется средняя гармоническая простая: .

Если x•f =M? 1, то для расчёта применяется средняя гармоническая взвешенная: .

Средняя гармоническая - величина, обратная средней арифметической, из обратных значений признака.

Свойства средних величин

1. Если от каждой варианты отнять или прибавить одно и то же число, то средняя увеличится или уменьшится на то же число.

. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в a раз, то средняя увеличится или уменьшится в столько же раз.

. Если все частоты увеличить или уменьшить в a раз, то средняя не изменится.

. Если все частоты увеличить или уменьшить на a, то средняя изменится непредсказуемо.

. Средняя арифметическая суммы нескольких величин равна суме средних арифметических этих величин.

. Алгебраическая сумма отклонений значений признака от средней арифметической всегда равна нулю.

 

Пример: Найти среднюю урожайность в 2003 и 2004 гг.

№ колхоза2003 г.2004 г.урожайность (ц/га)площадь (га)урожайность (ц/га)Валовой сбор(ц)1 2 340 50 601000 2000 300038 49 6540000 100000 150000

Решение:

 

, где f-вес

(ц/га)

.

(ц/га)

 

. Средняя хронологическая: применяется для расчёта средней величины, если исходные данные представлены на определённые даты, моменты времени:

 

 

Пример: Найти среднюю стоимость ОПФ

дата1.011.021.031.041.051.06стоимость ОПФ100120110120140140

Решение:

 

, ,

,

, .

 

Приведем все расчеты к одному знаменателю: Х=

 

 

. Средняя квадратическая: применяется для измерения вариации признака в совокупности:

 

,

 

. Средняя кубическая: .

6. Средняя геометрическая: применяется чаще всего для определения средних темпов роста в единицу времени: , ,

 

Пример: Рассчитайте среднегодовые темпы роста

показателигод19951996199719981999выпуск продукции20222650,1100,2х1х2х3х4х5коэффициент роста выпуска продукции?1,11,21,92k1k2k3k4

Решение:

 

, где m=n-1.

.

 

Средняя геометрическая, чаще всего, применяется в экономических расчетах, но учитывает только начало и конец ряда и недостаточно точно отражает динамику изменения, т.е. она не учитывает сумму ряда.

. Средняя кумулятивная:

 

.

 

Формула кумулятивной средней более чётко отражает динамику изменений и помогает увидеть сумму ранжированного ряда.

Все рассмотренные средние величины (кроме средней хронологической) являются степенными средними и выводятся из следующей формулы: , где получается при

k=-1 ? средняя гармоническая;

k=0 ? средняя геометрическая;

k=1 ? средняя арифметическая;

k=2 ? средняя квадратическая;

k=3 ? средняя кубическая.

Все эти показатели рассчитываются для варьирующего признака для простых средних. Если все значения признака в ряде распределения одинаковы, то все значения средних равны. Между указанными средними величинами имеет место зависимость (для одного ряда распределения):

? это неравенство называется правилом мажорантности средних величин.

. Структурные средние:

) Структурное среднее мода () - наиболее часто встречающееся значение ряда, другими словами, мода - это варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретных рядах мода определяется визуально, в интервальных рядах визуально определяется модальный интервал, а мода (точечная) определяется по формуле: , где

x0 ? нижняя граница модального интервала;

i ? шаг интервального ряда;

f? частота модального интервала;

fMо-1 ? частота интервала, предшествующего модальному;

fMо+1 ? частота интервала, следующего за модальным.

Пример: Найти Мо в дискретном и интервальном рядах.

 

.

2) Структурное среднее медиана () - значение, которое делит ранжированный ряд пополам.

В нечётных, чётных и дискретных рядах медиана определяется