Общая теория статистики
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
?я в замене индивидуальных значений признака их средним показателем. При этом общий объём совокупности остаётся неизменным.
Пример: есть данные о выработке 5 рабочих: 135, 141, 153, 159, 162. Определить среднюю выработку. .
Средние величины, которые необходимо знать наизусть:
- средняя арифметическая;
средняя гармоническая;
средняя хронологическая;
средняя квадратическая, кубическая;
средняя геометрическая;
структурные средние: мода, медиана.
. Средняя арифметическая: чаще всего в статистике и социально-экономических исследованиях применяется арифметическая величина.
Средняя арифметическая простая рассматривается в случаях, когда значение признака повторяется один или одинаковое число раз в ряде распределения:
, где n-количество единиц совокупности.
Средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, когда каждое значение признака повторяется неодинаковое число раз, или частота ряда распределения превышает единицу хотя бы для одного признака:
, где f-вес.(сколько раз повторяется каждая еденица совокупности)
. Средняя гармоническая: в ряде случаев бывают известны варианты (x) и произведения варианты на частоту (x•f), в то время как сами частоты (f) неизвестны, тогда применяется средняя гармоническая, которая бывает простой и взвешенной.
Произведение x•f выражается через сложный экономический показатель M (M= x•f). Для расчёта средней величины, когда x•f =M=1, применяется средняя гармоническая простая: .
Если x•f =M? 1, то для расчёта применяется средняя гармоническая взвешенная: .
Средняя гармоническая - величина, обратная средней арифметической, из обратных значений признака.
Свойства средних величин
1. Если от каждой варианты отнять или прибавить одно и то же число, то средняя увеличится или уменьшится на то же число.
. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в a раз, то средняя увеличится или уменьшится в столько же раз.
. Если все частоты увеличить или уменьшить в a раз, то средняя не изменится.
. Если все частоты увеличить или уменьшить на a, то средняя изменится непредсказуемо.
. Средняя арифметическая суммы нескольких величин равна суме средних арифметических этих величин.
. Алгебраическая сумма отклонений значений признака от средней арифметической всегда равна нулю.
Пример: Найти среднюю урожайность в 2003 и 2004 гг.
№ колхоза2003 г.2004 г.урожайность (ц/га)площадь (га)урожайность (ц/га)Валовой сбор(ц)1 2 340 50 601000 2000 300038 49 6540000 100000 150000
Решение:
, где f-вес
(ц/га)
.
(ц/га)
. Средняя хронологическая: применяется для расчёта средней величины, если исходные данные представлены на определённые даты, моменты времени:
Пример: Найти среднюю стоимость ОПФ
дата1.011.021.031.041.051.06стоимость ОПФ100120110120140140
Решение:
, ,
,
, .
Приведем все расчеты к одному знаменателю: Х=
. Средняя квадратическая: применяется для измерения вариации признака в совокупности:
,
. Средняя кубическая: .
6. Средняя геометрическая: применяется чаще всего для определения средних темпов роста в единицу времени: , ,
Пример: Рассчитайте среднегодовые темпы роста
показателигод19951996199719981999выпуск продукции20222650,1100,2х1х2х3х4х5коэффициент роста выпуска продукции?1,11,21,92k1k2k3k4
Решение:
, где m=n-1.
.
Средняя геометрическая, чаще всего, применяется в экономических расчетах, но учитывает только начало и конец ряда и недостаточно точно отражает динамику изменения, т.е. она не учитывает сумму ряда.
. Средняя кумулятивная:
.
Формула кумулятивной средней более чётко отражает динамику изменений и помогает увидеть сумму ранжированного ряда.
Все рассмотренные средние величины (кроме средней хронологической) являются степенными средними и выводятся из следующей формулы: , где получается при
k=-1 ? средняя гармоническая;
k=0 ? средняя геометрическая;
k=1 ? средняя арифметическая;
k=2 ? средняя квадратическая;
k=3 ? средняя кубическая.
Все эти показатели рассчитываются для варьирующего признака для простых средних. Если все значения признака в ряде распределения одинаковы, то все значения средних равны. Между указанными средними величинами имеет место зависимость (для одного ряда распределения):
? это неравенство называется правилом мажорантности средних величин.
. Структурные средние:
) Структурное среднее мода (Mо) - наиболее часто встречающееся значение ряда, другими словами, мода - это варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретных рядах мода определяется визуально, в интервальных рядах визуально определяется модальный интервал, а мода (точечная) определяется по формуле: , где
x0 ? нижняя граница модального интервала;
i ? шаг интервального ряда;
fMо ? частота модального интервала;
fMо-1 ? частота интервала, предшествующего модальному;
fMо+1 ? частота интервала, следующего за модальным.
Пример: Найти Мо в дискретном и интервальном рядах.
.
2) Структурное среднее медиана (Mе) - значение, которое делит ранжированный ряд пополам.
В нечётных, чётных и дискретных рядах медиана определяется