Обобщение и систематизация способов построения степенных функций во множестве рациональных, действительных и в поле комплексных чисел
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?ло при , и так далее.
Итак, формула (11) даёт для каждого ровно различных значений функции, которые получаются, например, при .
При всех , отличных от и , где и целые, формула (18) определяет бесконечнозначную функцию [1].
5. Разложение степенной функции в биноминальный ряд
п.1 Производная степенной функции
Для начала найдём производные от некоторых простейших функций. Пусть .
Имеем
то есть, производная есть постоянная величина, равная 1. Это очевидно, ибо - линейная функция и скорость её изменения постоянна.
Если , то
Пусть , тогда
легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции при . Докажем, что и вообще производная от при любом целом положительном показателе равна .
Имеем
Выражение, стоящее в числителе, преобразуем по формуле бинома Ньютона:
.
Значит, .
В правой части последнего равенства стоит сумма слагаемых, первое из которых не зависит от , а остальные стремятся к нулю вместе с . Поэтому
[4].
Итак, степенная функция при целом положительном имеет производную, равную .
При из найденной общей формулы следуют формулы, выведенные выше.
Докажем, что этот результат верен и для любого показателя , например,
.
Логарифмируем функцию , считая :
.
Дифференцируя, получим , откуда .
Если , то для тех показателей степени, при которых функция определена, её можно записать в виде , дифференцируя полученное выражение как сложную функцию, снова придём к доказываемой формуле.
Таким образом, производная степенной функции , где -любое вещественное число, равна показателю степени , умноженному на степень аргумента с показателем, меньшим на единицу, то есть .
п.2 Разложение степенной функции в биноминальный ряд
Разложим в ряд Маклорена функцию , где - любое действительное число.
Последовательно находим:
При имеем:
.
Таким образом,
,
где остаточный член может быть определён по интегральной формуле
.
Приняв во внимание, что в нашем случае , можем написать:
.
Применив к интегралу теорему о среднем и, обозначив, через , где , значение лежащее между 0 и , и удовлетворяющее теореме о среднем, получим:
(21)
Так как по признаку ДАламбера , а следовательно, ряд сходится абсолютно при и расходится при , остаётся показать, что остаточный член при стремится к нулю.
Множитель в формуле (21), есть произведение трёх величин, из которых две ограничены, а третья - стремится к нулю, при . Поэтому, .
Таким образом, разложение
(22)
имеет при всех значениях , удовлетворяющих условию .
Если - целое положительное число, то ряд заканчивается на члене и превращается в известную формулу бинома Ньютона. В общем случае, разложение (22) даёт обобщение бинома Ньютона для любого действительного показателя . В этом общем случае разложение (22) называется биноминальным рядом.
Частные случаи биноминального ряда:
[4].
2. Описание электронного пособия и фондовых лекций
В настоящее время активно разрабатываются компьютерные инструментальные средства для ведения учебных занятий. Практически по всем направлениям учебных дисциплин создаются электронные пособия. Которые являются в большей степени инструментом обучения и познания, и его структура и содержание зависят от целей его использования.
Поэтому и было создано электронное пособие по теме "Различные способы аналитического построения степенных функций".
В электронном пособии рассматриваются различные способы аналитического построения степенных функций, а именно, исследуются различные способы их построения во множестве рациональных, действительных и комплексных чисел, а так же с помощью биноминального ряда. Особое внимание уделяется функциям с рациональным показателем и функции арифметического корня.
При запуске программы электронного пособия появляется заставка с названием соответствующей темы. Заставка через несколько секунд становится невидимой, а на экране отображается главное меню. Главное меню состоит из опций, соответствующих названиям параграфов. Опции, рядом с которыми помещён значок "+", имеют подпункты, появляющиеся при щелчке мышкой по этому значку. Выход из программы осуществляется по нажатии кнопки "выход".
1. Структура электронного пособия
Электронное пособие по теме "Различные способы аналитического построения степенных функций" содержит все структурные единицы, указанные в требованиях к подобным средствам обучения.
1. Титульный экран. Титульный экран содержит название пособия.
. Оглавление. Оглавление достаточно подробно обеспечивает оперативный доступ к сравнительно небольшим содержательным частям электронного пособия и является максимально обозримым, то есть находится на одном экране. Кроме того, оглавление позволяет:
переходить к любой части электронного пособия;
закончить работу;
возвратиться к титульному листу;
обратиться к списку литературы.
Электронное пособие содержит следующие разделы.
1. Степенная функция во множестве рациональных чисел
.1Степенная функция с натуральным показ