Обобщение и систематизация способов построения степенных функций во множестве рациональных, действительных и в поле комплексных чисел
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
>При этом, , , и [2].
2. Функция корня
п.1 Функция арифметического корня
По доказанному выше функция
(3)
монотонна на и, следовательно, имеет обратную функцию [4].
Так как функция на полусегменте принимает, очевидно, лишь неотрицательные значения, то отсюда следует, что и у функции, обратной к (3), и область определения, и множество значений есть полусегмент .
Эту обратную функцию обозначают и называют арифметическим корнем - ой степени из .
Из определения обратной функции следует, что , то есть, что , и, значит, есть число, - ая степень которого равна подкоренному числу , а для любого [9].
График функции , получается из графика функции , отражением относительно прямой (рис.5).
Этот график, как и график функции y, проходит через начало координат. Кроме того, поскольку , то и [2].
Заметим, далее, что так как функция (1) монотонно возрастает на , то и обратная ей функция монотонно возрастает в своей области определения, то есть также на .
Выясним теперь, можно ли построить функцию, обратную функции и в области отрицательных значений .
Если - четное число, то функция принимает одни лишь неотрицательные значения и вопрос о построении такой функции отпадает, так что, если при четном записью представлена функция, обратная к (1), то в этой записи, по необходимости, [9].
Для любых натуральных значений и при верно равенство
. (4)
В самом деле, в силу свойств степеней с натуральным показателем .
При справедливо равенство
. (5)
Чтобы доказать это равенство, достаточно заметить что - е степени обеих частей равны , причем обе части равенства (5) неотрицательны.
Если , а - четное число, обе части равенства (5) определены, но равенство уже может не иметь места. Дело в том, что при нечетном и четном в области имеем , но . Поэтому вместо равенства (5) следует писать в этом случае
(6)
в такой форме оно верно для любых .
Вместо пишут также .
Равенства (1) - (3) принимают вид:
[2].
Отметим также некоторые свойства арифметического корня.
. В соответствии с определением арифметического корня для всех верны равенства и .
. , при .
. , при .
. .
Действительно, в соответствии с определением арифметического корня корнем -ой степени из числа называется такое число, -ая степень которого равна , то есть =, если .
Пусть левая часть записанного равенства представляет собой корень -ой степени из числа .
Обозначим левую часть равенства за . Если возведем в степень и получим в результате , то данное свойство будет доказано.
Возведем правую часть равенства, то есть в - ую степень .
На основании первого свойства арифметического корня выражение в прямоугольных скобках есть , то есть , следовательно, , значит, есть корень - ой степени из .
Остается доказать, что , так как по условию арифметического корня , то - в целой степени , где .
. , где .
Действительно, уже доказано, докажем . Рассмотрим , тогда .
Если , то можно переписать следующим образом, воспользовавшись правилом возведения в степень при целых показателях, можно записать , то есть является , то есть , но , значит, .
п.2 Функция корня при - нечетном
При нечетном функция , рассмотренная на интервале , монотонна уже во всем этом интервале, причем, при , поэтому теперь она имеет обратную функцию с областью определения . Эту функцию также обозначают через
(7)
и называют корнем - ой нечетной степени из .
Множество значений этой функции есть также интервал ; она будет, как и функция , монотонно возрастающей в [9].
График рассматриваемой функции является зеркальным отражением графика функции в 1-ой и 2-ой координатной плоскости [2].
Отметим также же, что при любом натуральном и , очевидно .
п.3 Степенная функция с положительным рациональным показателем
Определим функцию для дробного положительного рационального показателя .
Любое рациональное положительное число может быть (и притом единственным образом) представлено в виде частного двух взаимно простых натуральных чисел и , то есть . Исходя из этого, по определению полагают:
(8).
При таком определении каждому , при котором существует, сопоставляется единственное число , и, следовательно, здесь есть функция от . Её и называют степенной функцией с положительным рациональным показателем (степенная функция с целым положительным показателем может быть рассмотрена как частный случай () функции (8), и оговорка, что рациональный показатель является дробным, излишне) [9]. Для степеней с рациональными показателями справедливы все свойства степеней с рациональными показателями:
.
.
. ;
.
. .
Установим область определения функции (8). При нечётном , функция (7) определена на , поэтому при нечётном и функция (8) имеет областью существования . Если же - чётное число, то прежде всего - нечётно (иначе дробь была бы сократимой). Но функция (7) при чётном определена только при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, в (8) должно быть , или, что то же ( - нечётно) , то есть при чётном , область существования функции (8) есть полусегмент .
Отметим, что если , то несущественно, будет ли в определении функции (8) несократимой дробью или нет, ибо тогда при , (где и взаимно просты) обл?/p>