Обобщение и систематизация способов построения степенных функций во множестве рациональных, действительных и в поле комплексных чисел
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
°сти существования функций и одинаковы и вместе с тем и , откуда , (). (*)
Отсюда , так как в противном случае в силу монотонности степенной функции было бы , что противоречит (*).
В частности, при любом натуральном
.
При чётном (-нечётно) функция (8) является чётной: , а при нечётном и нечётном - нечётной: .
Исследуем теперь на монотонность. Вначале проведём это исследование на . Выше было показано, что функция при натуральном монотонно возрастает на , так, что если , то при и . Но функция (только обозначением аргумента отличающаяся от функции ) монотонно возрастает на , поэтому при и , или , то есть при , и, значит, монотонно возрастает на .
Если чётно, то функция (8) определена только на этом полусегменте, и поэтому при чётном дальнейшего исследования этой функции на монотонность проводить не нужно. Пусть теперь нечётно. Тогда функция (8) определена и на . И можно проводить дальнейшее исследование на монотонность.
Если и чётно, то, по доказанному выше, функция (8) нечётна и значит, монотонно возрастает и на полусегменте , если же чётно, точно, также по доказанному выше, эта функция чётна и, следовательно, монотонно убывает на .
Легко понять теперь, что при чётном и чётном функция (8) не монотонна в , тогда как при нечётном и нечётном она монотонно возрастает во всём интервале .
На рисунке изображены графики функций для чётных значений .
Рассмотрели степенную функцию с положительным рациональным показателем .
п.4 Степенная функция с отрицательным рациональным показателем
Если теперь есть отрицательное рациональное число, то под снова будем понимать по определению функцию .
Положим, , где взаимно простые натуральные числа. Функция определена всюду, где определена функция , кроме точки , и поэтому имеет своей областью существования интервал при четном и совокупность двух интервалов при нечетном .
на интервале монотонно убывает, а на интервале (-нечётное) монотонно возрастает при четном и монотонно убывает при . Рассмотрим еще случай , но тогда степенная функция принимает вид: . При такая функция не определена, а для остальных значений аргумента она тождественно с функцией , а потому её свойства слишком просты, чтобы на них стоило останавливаться.
Эта функция при любом рациональном монотонна на : монотонно возрастает при и монотонно убывает при [9].
3. Степенная функция с действительным показателем
Пусть - произвольное вещественное число. Определим общую степенную функцию
Из определения степенной функции следует, что при она представляет собой возрастающую, а при убывающую функцию.
Рассмотрим предельное значение степенной функции при . Докажем, что
Действительно, пусть - любая сходящаяся к нулю справа последовательность значений аргумента . Так как , то из свойств показательной функции вытекает, что при и при . Естественно положить теперь при и считать это выражение неопределенным при .
Докажем непрерывность степенной функции в любой точке положительной бесконечной полупрямой . Для этого достаточно установить, что эта функция непрерывна в каждой точке указанной полупрямой слева и справа. Докажем, например, непрерывность этой функции в точке слева (непрерывность справа доказывается аналогично). При этом ради определённости будем считать . Обратимся к формуле . Пусть - любая сходящаяся слева к последовательность значений аргумента степенной функции, так что . Так как логарифмическая функция непрерывна, то последовательность где , сходится к , причем, все элементы отличны от (в самом деле, поскольку при логарифмическая функция возрастает, то справедливо неравенство ). В силу непрерывности показательной функции последовательность сходится к . Иными словами, последовательность, представляющая собой последовательность значений степенной функции, соответствующую последовательности , сходится к , то есть, к . Непрерывность степенной функции в точке слева доказана. Аналогично доказывается непрерывность этой функции в точке справа. Но непрерывность функции в точке слева и справа означает, что функция непрерывна в этой точке. Отметим, что если , то степенная функция непрерывна также и в точке .
Замечание. Отметим, что если показатель степенной функции представляет собой рациональное число , где - нечетное целое число, то степенную функцию можно определить на всей числовой оси, полагая для , если и , четное,
, если и , нечётное.
4. Степенная функция с комплексным показателем
Рассмотрим функцию:
(9)
где есть натуральное число, большее единицы. Функция, обратная этой, есть
(10)
Функция имеет производную, отличную от нуля во всякой конечной точке плоскости, кроме начала координат. Следовательно, во всякой такой точке сохраняются углы при отображении с помощью функции .
Посмотрим, как ведёт себя наша функция в окрестности нулевой точки. Для этого введём полярные координаты: , после чего равенство (9) даст:
. (11)
Из второго равенства (11) видно, что углы в нулевой точке не сохраняются, а увеличиваются в раз. Конформизм углов нарушается и в бесконечно удалённой точке плоскости , потому, что функция в окрестности совпадает с данной функцией. Точки 0 и будут точками разветвления функции .
Особенность точек 0 и , а также назван