Обобщение и систематизация способов построения степенных функций во множестве рациональных, действительных и в поле комплексных чисел
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
ие их точками разветвления будут ещё более ясным, если мы заметим, что каждой точке плоскости , кроме этих двух, соответствует различных точек плоскости . Из соотношений (11) видно, что окружности с центром в нулевой точке плоскости переменного переходят на плоскости тоже в окружности ; полупрямым, выходящим из нулевой точки , будут соответствовать тоже полупрямые .
Возьмём на плоскости переменного угол, величиной , образуемый положительной действительной осью и полупрямой, выходящей из нулевой точки рис.10. этот угол с помощью функции (9) отобразиться на всю плоскость переменного , разрезанную на положительной полуоси рис.11. Действительно, при угол ; при угол .
Рассмотрим теперь некоторые простейшие отображения, связанные с функцией . Совершенно ясно, что эта функция даёт возможность отобразить угол величины рис.12., на верхнюю полуплоскость рис.13.
Зададимся задачей отобразить полукруг с центром в нулевой точке радиуса единицы на верхнюю полуплоскость. Сначала отобразим отрезок от - 1 до +1 в положительную действительную полуось так, чтобы точке - 1 соответствовала точка 0, а точке +1 - точка . В качестве отображающей функции можно взять:
. (12)
Легко видеть, что, действительно, такая функция удовлетворяет требуемым условиям, так как при изменении от - 1 до +1 функция пробегает, возрастая, все значения от 0 до
Посмотрим, во что эта функция будет переводить полуокружность. Имеем:
. (13)
Когда точка пробегает полуокружность от 1 до - 1, то меняется от 0 до значит, будет изменяться по положительной мнимой полуоси. Заметим, что когда точка описывает полуокружность в положительном направлении рис.14, то область полукруга остаётся слева. Из предыдущих формул (12) и (13) нетрудно видеть, каково будет направление соответствующего обхода на плоскости .
На нашем чертеже рис.14 оно обозначено стрелками. Так как отображенная область должна находиться также слева при обходе переменным полуоси и полуоси , то отсюда заключаем, что наш полукруг с помощью функции (12) отобразится на координатный угол плоскости рис.15. Для того, чтобы преобразовать полученный координатный угол в верхнюю полуплоскость, нужно взять: .
Итак, искомая функция напишется таким образом:
(14)
Как отобразить сектор с углом равным , радиуса единица на верхнюю полуплоскость? Очевидно, что функция будет переводить этот сектор в полукруг. Этот же последний с помощью уже знакомой нам функции (14) мы можем отобразить на верхнюю полуплоскость. Таким образом, искомая функция есть
(15)
Как отобразить область, заключённую между двумя пересекающимися под углом окружностями на верхнюю полуплоскость? Обозначая через и вершины данного двуугольника рис.16., берём линейную функцию
(16)
Эта функция переведёт точку в точку 0, точку в . Следовательно, одну дугу окружности линейная функция (16) переведёт в один луч, выходящий из нулевой точки, другую дугу окружности в другой луч, составляющий с первым угол , так как функция (16) в точке имеет производную, отличную от нуля. Остаётся отобразить угол, ограниченный двумя только что упомянутыми лучами, на полуплоскость. Это мы умеем делать. Итак, искомая функция имеет вид
. (17)
Степенная функция может быть определена следующим видом
. (18)
Она определена для всякого комплексного и любого комплексного . В силу многозначности степенная функция (18) многозначна. Каждому значению независимой переменной , как правило, соответствует счетное множество значений степени . Если в правой части (18) брать определённую ветвь , то будем получать соответствующую ветвь степенной функции.
(19)
В частности, если взять главное значение логарифма (k = 0), то получим главное значение степени :
.
Отдельные ветви степенной функции, то есть однозначные функции (19), являются регулярными функциями на плоскости с разрезом вдоль отрицательной части вещественной оси, так как их можно там дифференцировать по обычному правилу.
Общее определение степенной функции указывает на то, что эта функция бесконечнозначна. Однако некоторые частные виды степенной функции являются функциями однозначными или же многозначными, но не бесконечнозначными, как следовало бы из (18). Например, известно, что функция , где - натуральное, одночлена, так как она получается независимой переменной с помощью однозначного действия умножения. Функция многозначна, но известно, что каждому значению отвечает ровно различных значений. Выясним, как эти известные факты получаются из общего определения (18).
а) Пусть . Исходя из определения (18), получаем:
полученное выражение не содержит и, следовательно, функция однозначна.
б) Пусть . В силу определения (18) получаем:
(20)
Из последнего выражения видно, что при изменении от 0 до будем получать разные числа в скобках. При дальнейшем изменении от до числа, получающиеся в скобках, будут повторяться в силу периодичности синуса и косинуса. Например, при , получим:
,
то есть пришли к тому же числу, которое уже было получено при .
Так же значение суммы в скобках при совпадает с там значением, которое было при и так далее. Если , то получим:
то есть то же число, которое уже было при ; при , получим то же число, которое уже б?/p>