Обобщение и систематизация способов построения степенных функций во множестве рациональных, действительных и в поле комплексных чисел
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
°зованные комбинациями слов "дюнамис" (квадрат) и "кюбос" (куб) на основе аддитивного принципа. У него даны специальные названия и места первых отрицательных степеней неизвестного. Индийские ученые оперировали степенями с натуральными показателями до девяти включительно, называя их с помощью комбинации трех слов: "ва" (вторая степень, от слова "варга"-квадрат), "гха" (третья степень от "гхана"-тело, куб) и "гхома" (слово, указывающее на сложение показателей). Применялся мультипликативный принцип как основной: "ва-гха", например, означало шестую степень (2*3), "ва-ва-ва" - восьмую, "ва-гха-гхама" - пятую (2+3). Следует отметить, что до XVI века понятие степени относилось обычно не к числу вообще, а лишь к неизвестным в уравнениях. Средневековые математики, писавшие на арабском языке, решая уравнения, нередко исходили из квадрата неизвестного , называя его "мал" (имущество); само неизвестное называлось "жидр" (вообще, корень растения, а в данном случае - квадратный корень из ). При переводе на латынь в XII в. неизвестное стали называть res (вещь) или radix (корень), квадрат неизвестного - census (имущество), а позже potentia (сила, вероятно, прямой перевод диофантова дюнамис). Термин "степень" и есть перевод слова potentia. С тех пор и сохранился термин корень уравнения в смысле решения [3].
Как известно, итальянские математики пользовались термином cosa (по - итальянски - вещь) для обозначения неизвестного.
В 1494 году в Италии появилась одна из первых печатных книг по математике - "Сумма (знаний) по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" Луки Пачали. В ней неизвестное обозначается co (cosa), вторая его степень - ce (censo), третья - cu (cubo) и т.п. Эти обозначения были использованы и замечательным итальянским математиком Тармалья и проникли даже в Германию. Под влиянием итальянских математиков находился французский ученый Никола Шюке, живший в XV веке в Лионе, где находилось много эмигрантов из Италии. Шюке внес большой вклад в алгебру, и разработал ряд целесообразных символов для обозначения степени, предвосхитив в известной мере достижения ученых XVII века. Так, например, он писал … вместо современных …, явно вводя таким образом понятие показателя степени [3].
В конце XVI в.С. Стевин выражение записал так: 3 (3) +5 (2) - 4 (1) +6.
Ученик Стевина - голландский математик Альберт Жирар в своей книге "Новое изобретение в алгебре" (1629) пишет (2) 17 вместо нашего . Современная запись была введена Декартом в его "Геометрии" (1637).
Декарт не пользовался показателем для записи второй степени, т.е. записывал aa вместо . Лейбниц же применял знак , считая, что упор должен быть сделан на унификацию символики [3].
1. Различные способы аналитического построения степенных функций
1. Степенная функция с целым показателем
п.1 С натуральным показателем
Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию
, где . (1)
Определение этой функции общеизвестно для и для .
Из самого её определения следует, что при любом натуральном k
и .
Функция определена на всей числовой оси [9].
а) Пусть - нечётно, то есть , тогда функция - нечётная.
Если , то , а потому график функции проходит через начало координат (рис.1) [4].
Исследуем функцию на монотонность.
Вначале проведём это исследование на полусегменте [9].
Пусть имеем:
.
Так как , то , а так как и , то и , следовательно, , то есть функция (1) монотонно возрастает на полусегменте [4].
Поскольку функция нечётная, то на полусегменте монотонно возрастает, так как если , то .
Функция непрерывна на всей числовой оси, как - непрерывных функций .
По теореме о бесконечно больших функций функциях получаем, что и [2].
б) Пусть - чётно, то есть .
Тогда функция - чётная функция. Очевидно также, что при чётном не принимает отрицательных значений.
Если , то , следовательно, график функции проходит через начало координат (рис.2.).
Эта функция строго возрастает при , так как при имеем: .
А на полуоси функция строго убывает, так как если , то .
Функция непрерывна на всей числовой прямой, как произведение - функций , непрерывность которых уже доказана [4].
По теоремам о бесконечно больших функциях получаем, что и .
п.2. Степенная функция с отрицательным целым показателем
Степенной функцией с целым отрицательным показателем называют функцию, где (2)
Функция определена при .
Для выражение не определяют, так что областью определения функции (2) является совокупность двух интервалов и [9].
а) Пусть - нечётное,.
Функция непрерывна на всей числовой прямой, исключая точку0.
Как и в случае натурального показателя нечётна.
Так как при положительных и из неравенства следует неравенство , то на интервале функция (2) монотонно убывает. Отсюда в свою очередь следует, что в интервале функция монотонно убывает, то есть функция строго убывает на области определения, при этом , , и [4].
б) Пусть - четное, .
Тогда функция непрерывна на всей области определения, исключая точку 0.
Функция чётна, то есть она неотрицательна для всех из области определения.
При положительных и из неравенства следует, что на интервале функция монотонно убывает. А в интервале функция монотонно возрастает, так как при следует неравенство .