Исследование различных методик оценки рыночного риска и использование их для построения оценки величины рыночного риска на примере финансовых инструментов
Дипломная работа - Экономика
Другие дипломы по предмету Экономика
ем по найденному распределению найти квантиль. Разложим P(t,x) в ряд Тейлора до второго порядка:
Таким образом, ?P(?t, ?x) ? P(t, x) - P(t0, x0) - квадратичная функция от вектора доходностей актива ?x, имеющего нормальное распределение.
Для функции распределения F?P не существует аналитического выражения, поэтому применяются различные аппроксимации, использующие разложения по более простым функциям распределения одной переменной (хи-квадрат, специальные функции и т.д.). К примеру, разложение Корниш-Фишера (Cornish-Fisher) имеет следующее выражение:
где ?(?) - функция нормального распределения, k3 и k4 - кумулянты распределения F?P.
2.3.2 Оптимизационный метод
Используя определение VaR, его значение можно находить как решение оптимизационной задачи.
При сделанных предположениях о квадратичной функции стоимости портфеля и нормальном распределении переменных состояния (компоненты вектора цен инструментов) оптимизационная задача примет вид:
Для численного решения задачи оптимизации с квадратичной целевой функцией существуют эффективные методы, например Левенберга-Маркварда.
Помимо определения собственно значения VaR, решение задачи дает еще и сценарий (значения переменных состояния), при котором это значение достигается. Однако при большом числе переменных состояния данный метод применять становится невыгодным [3, стр. 24].
2.3.3 VaR для опционов методом Монте-Карло
Рассмотрим европейский опцион колл на какой-либо базовый актив equity (фондовый индекс или акция) и введем следующие обозначения:
- цена базового актива;
- цена европейского опциона колл;
- страйк колл;
- срок действия опциона во времени
- годовая безрисковая ставка процента (при непрерывном начислении);
- годовая вмененная волатильность базового актива (волатильность, получаемая из котируемой на рынке цены опциона путем решения обратной задачи);
- функция распределения стандартной нормальной случайной величины;
- функция распределения плотности вероятности стандартной нормальной случайной величины;
Цена европейского опциона колл с допущением о нулевой дивидендной доходности базового актива и неизменной вмененной волатильности на момент времени определяется формулой (моделью) Блэка-Шоулза [18, 19]:
, где
Формула ценообразования опциона - формула Блэка-Шоулза - является решением уравнения в частных производных, которое получается из предположения о броуновском характере движения цены базового актива с фиксированной ожидаемой доходностью и волатильностью, а также динамическом дельта-хеджировании опциона с помощью самого базового актива [18,19].
Зная формулу ценообразования, можно посчитать теоретическое значение цены опциона на каждый момент времени для различных сценариев цены базового актива. Таким образом, используя рассмотренный выше метод Монте-Карло для генерирования доходностей базового актива (раздел Метод Монте-Карло), можно получить распределение цены опциона на заданный момент времени и, следовательно, посчитать VaR опциона.
Основным недостатком данного подхода является вычислительная сложность, в особенности, если в портфеле несколько опционов различных типов (европейский/американский, пут/кол), а также при необходимости моделирования траекторий цены базового актива (что важно для экзотических path-dependent опционов). Кроме того, существует множество экзотических опционов, для которых не существует аналитических решений (другими словами, система характеризующих дифференциальных уравнений не имеет аналитического решения), поэтому на каждой итерации становится необходимым производить численное решение системы ДУ.
2.3.4 ?-?-?-аппроксимация
Как уже отмечалось выше, изменение цены нелинейного финансового инструмента может быть аппроксимировано с помощью частных производных цены инструмента по факторам риска. При этом вне зависимости от того, существует ли аналитическая формула для цены инструмента (например, экзотического опциона) или нет, изменение цены можно разложить в ряд Тейлора n-ого порядка.
Для европейского опциона колл определены следующие частные производные по факторам риска, являющиеся существенными при разложении цены опциона в ряд Тейлора 2-ого порядка:
Таблица 2.2 - Греки европейского опциона колл
ГрекиСутьЗначениеДельта ?Гамма ?Вега ?Тета ?Ро ?
Таким образом, изменение цены европейского опциона колл за период времени будет иметь вид:
В предположении о постоянстве вмененной волатильности, а также учитывая незначительное влияние фактора безрисковой процентной ставки при разумном диапазоне ее возможных изменений, формула принимает следующий вид:
Данное выражение называется дельта-гамма-тета-аппроксимацией цены европейского опциона колл. Второе представление показывает, что изменение цены опциона определяется двумя случайными факторами: доходностью и квадратом доходности базового актива. Первая случайная величина распределена нормально, вторая - по закону ?-квадрат. Таким образом, именно за счет второй компоненты происходит корректировка на ненормальность.
Основным недостатком метода является его неточность при значительном временном горизонте и больших значениях гамма, когда опцион близок к экспирации или в деньгах.
Рассмотрим европейский опцио?/p>