Исследование различных методик оценки рыночного риска и использование их для построения оценки величины рыночного риска на примере финансовых инструментов
Дипломная работа - Экономика
Другие дипломы по предмету Экономика
? методологии RiskMetrics и называется экспоненциально-взвешенным (EWMA, Exponentially Weighted Moving Average). Его специфика состоит в том, что недавние наблюдения вносят больший вклад в волатильность, чем старые. Тогда оценка волатильности будет вычисляться следующим образом:
Чем меньше значение коэффициента ?, тем чувствительнее модель к изменениям, происходящим во временном ряду.
С другой стороны, уменьшение значения ? ведет к уменьшению эффективного размера выборки, что влияет на точность оценки волатильности [3].
В методологии RiskMetrics коэффициент ? равен 0,94, однако его можно рассчитать для любого рассматриваемого временного ряда, используя, например, метод максимального правдоподобия.
Обобщением экспоненциально-взвешенной модели являются ARCH/GARCH-модели.модель моделирует волатильность в виде суммы константной базовой волатильности и линейной функции абсолютных значений нескольких последних изменений цен.
При этом уровень волатильности рассчитывается по следующей рекурсивной формуле (ARCH(q)) [9]:
где - базовая волатильность, - предыдущие изменения цен, - порядок модели - количество последних изменений цен, влияющих на текущую волатильность, - весовые коэффициенты, определяющие степень влияния предыдущих изменений цен на текущее значение волатильности.
Расширением ARCH-модели является GARCH-модель (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, с англ. модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности) оценки волатильности. Здесь используется схожий с экспоненциально-взвешенным методом подход, а именно на оценку волатильности влияют как предыдущие изменения цен, так и предыдущие оценки волатильности. Согласно модели (GARCH(p, q)) расчет волатильность производится по следующей формуле [9]:
где - количество предшествующих оценок волатильности, влияющих на текущую, - весовые коэффициенты, определяющие степень влияния предыдущих оценок волатильности на текущее значение.
Существенным преимуществом GARCH-модели признается ее свойство быстрого реагирования на любые наблюдаемые изменения на рынке и быстрого восстановления после сильных колебаний рынка.
Простейшая и наиболее часто используемая модель GARCH(1,1), имеющая вид [3]:
где ?, ? и ? - коэффициенты, задаваемые:
где - дисперсия всей исследуемой выборки.
Для нахождения этих коэффициентов использовался метод максимального правдоподобия. Максимизировалась следующая функция:
где N - количество элементов в исследуемой выборке.
Можно заметить, что при ? = 0, ? = (1 - ?) и ? = ?, данная модель соответствует экспоненциально-взвешенной модели.
Ниже (рис. 2.3) приведен пример расчета дельта-нормального VaR с постоянными вариациями для отдельных активов и портфеля активов на базе оцененных нормальных распределений доходностей этих активов и ковариационной матрицы доходностей.
Рисунок 2.3 - Функции распределения активов и портфеля;VaR 95%
2.1.3 Непараметрические методы оценки волатильности
Все перечисленные выше методы оценки волатильности имеют конечное число параметров, следовательно, являются параметрическими.
Для получения непараметрических оценок волатильности традиционно используются два класса методов: методы ядерной оценки (kernel estimation), использующие свертку с некоторым ядром, и методы, использующие разложение в функциональный ряд (например, ряд Фурье) [3, стр. 14].
Метод ядерной оценки использует для оценки волатильности взвешенную сумму:
Последовательность весов будет определяться как:
представляет собой функцию гауссовского ядра с параметром h. Этот параметр принято называть шириной окна, который зависит от объема выборки:
где ?N - выборочное стандартное отклонение [14, 15].
Другим подходом к непараметрической оценке волатильности является разложение ряда доходностей в функциональный ряд, например, в ряд Фурье. Оценка волатильности при этом выражается через значения коэффициентов разложения. Так, при разложении в ряд Фурье оценка волатильности имеет вид:
коэффициент преобразования Фурье ряда доходностей [3, 16].
Недостатком данных моделей является тот факт, что для вычисления весов (для ядерных оценок) и коэффициентов разложения (для Фурье-преобразования) используется весь временной ряд, а это значит, что старые наблюдения вносят такой же вклад в оценку волатильности, что и недавние.
2.1.4 Метод исторического моделирования
Метод исторического моделирования (исторических симуляций, historical simulation) основан на предположении о стационарности поведения рыночных цен в ближайшем будущем. Суть данного метода заключается в следующем:
1)Выбирается период времени глубины Т (например, 200 торговых дней), за который отслеживаются исторические изменения (например, дневные) цен Р всех N входящих в портфель активов [2, стр. 304]:
2)Для каждого из этих Т сценариев изменений моделируется гипотетическая цена каждого актива в будущем как его текущая цена , умноженная на прирост цены, соответствующий данному сценарию:
3)Затем производится полная переоценка всего текущего портфеля по ценам, смоделированным на основе исторических сценариев, и для каждого сценария вычисляется, насколько