Изучение свойств случайных величин, планирование эксперимента и анализ данных
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
анирования эксперимента - достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.
Полную систему ортогональных латинских квадратов для n=p можно построить, используя поля Галуа. Построим поле Галуа вычетов по модулю 5. В поле содержится пять различных элементов 0, 1, 2, 3, 4, 5. Составим таблицу сложения и умножения в этом поле:
СложениеУмножение0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3 1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1
Получим второй квадрат путем умножения (К=2)
2*0=0012342*1=2234012*2=4401232*3=1123402*4=334012
Получим третий квадрат (К=3)
3*1=0012343*1=3341123*2=1123403*3=4401233*4=223401
Получим четвертый квадрат (К=4)
4*0=0012344*1=4401234*2=3340124*3=2234014*4=112340
При 5 уровнях в план можно ввести n+1 фактор. Число степеней свободы остаточной суммы будет равно нулю. Такие планы называют насыщенными. Построим насыщенный квадрат для n=5. Наложим для этого четыре полученных выше ортогональных латинских квадрата 55, составляющих полный ряд ортогональных латинских квадратов 55. Полученный план является насыщенным, так как число степеней свободы остаточной суммы, определяемое по формуле где k-число изучаемых факторов, равно нулю.
По этой модели проводится эксперимент из 25 опытов. Такая модель наиболее оптимальна для данного количества факторов, то есть позволяет учесть максимальное количество сочетаний факторов при минимальном количестве опытов.
Таблица 8 - Гипер-греко-латинский квадрат четвертого порядка
АВ012340C=0 D=0 E=0 F=0C=1 D=1 E=1 F=1C=2 D=2 E=2 F=2C=3 D=3 E=3 F=3C=4 D=4 E=4 F=41C=1 D=2 E=3 F=4C=2 D=3 E=4 F=0C=3 D=4 E=0 F=1C=4 D=0 E=1 F=2C=0 D=1 E=2 F=32C=2 D=4 E=1 F=3C=3 D=0 E=2 F=4C=4 D=1 E=3 F=0C=0 D=2 E=4 F=1C=1 D=3 E=0 F=23C=3 D=1 E=4 F=2C=4 D=2 E=0 F=3C=0 D=3 E=1 F=4C=1 D=4 E=2 F=0C=2 D=0 E=3 F=14C=4 D=3 E=2 F=1C=0 D=4 E=3 F=2C=1 D=0 E=4 F=3C=2 D=1 E=0 F=4C=3 D=2 E=1 F=0Таблица 9 - Матрица эксперимента n=5, N=25
Номер опытаАВСDEFX7X8X9X10100000011112011111111130222221111403333311115044444111161012341111711234011118123401111191340121111101401231111112024131111122130241111132241301111142302411111152413021111163031421111173142031111183203141111193314201111203420311111214043211111224104321111234210431111244321041111254432101111
3.3 Проведение модельного эксперимента
Проводим модельные эксперименты с выбранными значениями факторов, фиксируя остальные факторы. Заполняем матрицу эксперимента.
Таблица 10 - Матрица эксперимента n=5, N=25
Номер опытаАВСDEFX7X8X9X10Y1Y21000000111123,9726,372011111111131,6730,373022222111151,5748,374033333111187,0795,4750444441111209,57147,576101234111184,6763,3771123401111173,30143,678123401111195,9782,179134012111176,3362,3710140123111155,7763,4711202413111151,5744,1712213024111173,8350,37132241301111177,63109,97142302411111148,20126,2715241302111199,10117,37163031421111237,10133,3717314203111194,8335,8718320314111175,8378,87193314201111221,47199,37203420311111105,1085,37214043211111240,33122,87224104321111206,17178,37234210431111242,30134,1724432104111196,2781,47254432101111261,27192,47
3.4 Дисперсионный анализ
Дисперсионный анализ является статистическим методом анализа результатов наблюдений, зависящих от различных факторов и оценки их влияния на исследуемый процесс.
С помощью дисперсионного анализа устанавливаются изменения дисперсии результатов эксперимента при изменении уровней изучаемых факторов. Если дисперсии будут отличаться значимо, то следует вывод о значимом влиянии фактора на среднее значение наблюдаемой случайной величины.
Метод дисперсионного анализа основывается на следующих предпосылках: распределение исходных случайных величин нормально; дисперсии экспериментальных данных одинаковы для всех условий эксперимента (т. е. для экспериментов, выполненных на различных уровнях изучаемого фактора).
Поэтому при проведении дисперсионного анализа следует предварительно проверить нормальность распределения и неразличимость дисперсий.
3.4.1 Проверка применимости дисперсионного анализа
- проверим выборки на наличие грубых погрешностей по правилу "трех сигм" по формуле (13):
Для ПК Y1:
При проверке условия (13) для ПК Y1 грубых погрешностей не обнаружено.
Для ПК Y2:
При проверке условия (13) для ПК Y2 грубых погрешностей не обнаружено.
- проверка нормальности полученной выборки
Воспользуемся критерием Дэвида-Хартли-Пирсона.
По формуле (6) вычисляем значение критерия для ПК Y1:
R=Ymax-Ymin=261,26-23,96=237,00
Гипотеза нормальности принимается, если
По таблице 75 [4] для n=25 и находим ;
,34<3,43<4,71 следовательно условие выполняется, гипотезу о нормальности распределения принимаем на уровне значимости 0,05.
По формуле (6) вычисляем значение критерия для ПК Y2:
R=Ymax-Ymin=199,37-26,37=172,00
По таблице 75 [4] для n=25 и находим ;
,34<3,44<4,71 следовательно условие выполняется, гипотезу о нормальности распределения принимаем на уровне значимости 0,05. следовательно гипотезу о нормальности распределения принимаем.
- проверка гипотезы о неразличимости дисперсий
Условие однородности дисперсий - это равенство дисперсий. Его проверим по критерию Кохрена:
(18)
Оценка дисперсии определяется по формуле
(19)
Сформируем 5 выборок из ПК Y1 и Y2
Таблица 11 - Оценка дисперсии для ПК Y1
Выборки1234523,9731,6751,5787,07209,5784,67173,3095,9776,3355,7751,5773,83177,63148,2099,10237,1094,8375,83221,47105,10240,33206,17242,3096,27261,27S2у10765,815187,876278,833618,327335,37< G кр(5;5;0,05)=0,63
Так как условие Gp<G кр выполняется, то гипотезу об однородности дисперсий принимаем.
Таблица 12 - Оценка дисперсии для ПК Y2
Выборки1234526,3730,3748,3795,47147,5763,37143,6782,1762,3763,4744,1750,37109,97126,27117,37133,3735,8778,87198,3785,37122,87178,37134,1781,47192,47S2у2275,834680,071066,382832,192601,50
G кр(5;5;0,05)=0,63
Так как условие Gp<G кр выполняется, то гипотезу об однородности дисперсий для ПК Y2 принимаем.
Делаем вывод, что мы можем воспользоваться дисперсионным анализом.
3.4.2 Алгорит?/p>