Изучение свойств случайных величин, планирование эксперимента и анализ данных
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
м (4) и (5)
Критерий согласия формулируется следующим образом: если выборочная асимметрия и эксцесс удовлетворяют неравенствам
и ,
то наблюдаемое распределение можно считать нормальным.
В нашем случае: и ,
и ,
Рисунок 1 - Гистограмма для выборки n=100
Из таблицы 4 видно, что среднее, медиана и мода приблизительно равны, эксцесс и асимметричность не превышают соответствующие значения дисперсий, график близок к графику нормального распределения.
1.2.3 Проверка гипотезы о равенстве двух математических ожиданий двух выборок в предположении равенства их генеральных дисперсий
Проверим нулевую гипотезу H0: M(Y1)=M(Y2) на уровне значимости 0,05 для двух выборок n=15 и m=100
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину:
Критерий Z - нормированная нормальная случайная величина, так как М(Z)=0, при справедливости нулевой гипотезы (Z)=1. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Первый случай: нулевая гипотеза H0: M(Y1)=M(Y2). Конкурирующая гипотеза H1: M(Y1)?M(Y2). В этом случае строим двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости 0,05
По таблице функции Лапласа (приложение 2 [2]) находим критическую точку по равенству
Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу, если - нулевую гипотезу отвергают.
Найдем для наших выборок:
По таблице 2 [2] находим
Так как следовательно наблюдаемое значение попало в область допустимых значений. Нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий принимаем на уровне значимости 0,05.
Второй случай: нулевая гипотеза H0: M(Y1)=M(Y2). Конкурирующая гипотеза H1: M(Y1)>M(Y2). В этом случае строим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости 0,05
Найдем :
По таблице функции Лапласа (приложение 2 [2]) находим критическую точку по равенству
Так как попадает в область принятия гипотезы, нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий принимаем на уровне значимости 0,05.
Третий случай: нулевая гипотеза H0: M(Y1)=M(Y2). Конкурирующая гипотеза H1: M(Y1)<M(Y2). В этом случае строим левостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости 0,05
По таблице функции Лапласа (приложение 2 [2]) находим критическую точку по равенству
Полагая, что находим:
Так как нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий принимаем на уровне значимости 0,05.
1.2.4 Оценивание доверительных интервалов первой выборки, используя данные второй выборки, как оценки параметров генеральной совокупности
Генеральная совокупность (данные второй выборки) распределена по нормальному закону, причем параметр известен и равен 11,05. По выборке объема n=15 найдено 140,12 определим интервальную оценку для математического ожидания с надежностью .
Доверительный интервал имеет вид :
Находим t из соотношения 2Ф(t)=0.95 получаем Ф(t)=0.475. По таблице приложения 2[2] находим t=1,96.
Подставляем полученные значения в (15) получаем искомый интервал:
C надежностью 0,95 параметр а находится в интервале: ;
2. Двумерные случайные величины
Методы корреляционного и регрессионного анализов широко применяются для выявления и описания зависимостей между случайными величинами по экспериментальным данным. Для экспериментального изучения зависимости между величинами проведем 100 опытов. Результат каждого опыта дает пару значений (Y2i , Y3i).
.1 Построение корреляционного поля для двух функций (Y2 и Y3)
О наличии или отсутствии корреляции между величинами можно судить по виду поля корреляции. Корреляция на графике может быть положительной или отрицательной. Отрицательная корреляция( - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть отрицательным; положительная корреляция (- корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть положительным.
Рисунок 2 - Примеры корреляционных полей
а - отсутствие корреляции; б - линейная положительная и отрицательная связи; в -корреляционная положительная связь; г - корреляционная отрицательная связь;
Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты.
Таблица 5 - Значения Y2 и Y3 при постоянных уровнях всех действующих факторов.
№ п/пY2Y3№ п/пY2Y3№ п/пY2Y3№ п/пY2Y31139,57153,0026112,17123,6051109,37131,8076138,37151,802134,57144,0027138,77155,2052115,17140,6077105,77123,203121,37144,8028137,37147,8053127,17137,6078108,77126,204129,77142,2029121,77137,2054151,77165,2079121,57137,005120,37135,8030120,17135,6055130,77138,2080121,17133,606112,37121,8031123,57133,0056133,37142,8081105,37119,807119,77132,2032148,77157,2057121,77141,2082135,97148,408115,37133,8033146,37159,8058129,37138,8083127,77148,209137,77155,2034114,77131,2059123,17144,6084136,37155,8010142,37156,8035120,77133,2