Изучение свойств случайных величин, планирование эксперимента и анализ данных

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

чения дисперсий, то мы можем сделать вывод о нормальности распределения.

Для оценки нормальности распределения можем воспользоваться не только критерием асимметрии и эксцесса, но и такими критериями, как:

критерий Пирсона (;

критерий Колмогорова-Смирнова;

критерий Шапиро-Вилка;

критерий Жака-Берра;

критерий Андерсена-Дарлинга;

критерий Дэвида-Хартли-Пирсона;

критерий Саркади;.

критерий Оя и др..

Воспользуемся критерием Дэвида-Хартли-Пирсона.

Критерий нормальности распределения случайной величины основанный на распределении отношения размаха к стандартному отклонению.

Статистика критерия имеет вид:

 

(6)

 

где R- размах, вычисляемый по формуле : R=Ymax-Ymin;

S - стандартное отклонение.

Гипотеза нормальности принимается, если .

Зададимся уровнем значимости , тогда

R=157,2-123,2=34,00

По таблице 75 [4] для n=15 и находим ,

,97<3.68<4.17,

так как условие выполняется следовательно гипотезу о нормальности распределения принимаем.

 

1.1.3 Определение доверительных интервалов для математического ожидания

Доверительные интервалы для математического ожидания находим, используя критерий Стьюдента.

Рассмотрим случайную величину , которая согласно следствию из теоремы о распределении выборочных характеристик распределена по закону Стьюдента . При заданном значении , пользуясь таблицей П2 [1], вычислим значение из условия:

 

, (7)

 

где - надежность интервальной оценки.

? - генеральное среднее.

Из условия (7) получаем:

 

(8)

 

Таким образом, интервальная оценка надежности для неизвестной генеральной средней а имеет границы:

 

(9)

 

Выразим границы интервала через исправленную дисперсию . Так как =, то . Поэтому

 

. (10)

 

 

Значит, границы доверительного интервала можно записать так:

 

, (11)

 

По выборке объема 15 нормально распределенной найдено среднее значение 140,12. Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью ? =0,95.

Пользуясь таблицей П2 [1] находим величину t(0,95;15)=2,15.

Тогда доверительные границы для математического ожидания с доверительной вероятностью 0,95:

 

;

 

Окончательно с надежностью 0,95 получаем, что параметр а заключен в интервале: .

 

1.1.4 Определение доверительных интервалов для дисперсии

По выборке объёма 15, имеющей нормальное распределение, найдено значение S=9.23. Найдем доверительный интервал для ? с надежностью ?=0,95

Доверительный интервал покрывающий с заданной надежностью находим по формуле:

 

 

По таблице приложения 4 [2] по данным ?=0,95 и n=15 находим q=0,46, подставляя значения в (12) получаем: 9,23(1-0,46)< 9.23(1+0.46)

Искомый доверительный интервал: 4,98<13.47

 

.2 Формирование выборки объемом более 60

 

.2.1 Вычисление среднего и дисперсии

С помощью модели эксперимента формируем вторую выборку (Y3) объемом 100

 

Таблица 2 - Значения функции Y3

№ опытаY3№ опытаY3№ опытаY3№ опытаY31113,8026131,8051140,2076148,202118,2027131,8052140,6077149,003119,8028133,0053141,278149,204120,8029133,2054141,3079149,205120,8030133,3055142,2080149,26121,2031133,6056142,4081149,407121,8032133,8057142,6082149,408122,8033134,2058142,8083150,009122,8034134,2059143,2084150,2010122,8035135,0060143,8085150,4011124,6036135,0061144,4086150,6012124,6037135,6062144,4087150,8013124,8038136,0063144,8088152,9014126,6039136,0064145,0089153,0015126,8040136,4065145,4090153,2016127,2041136,6066145,5091154,2017127,6042137,8067145,6092155,2018128,2043138,4068145,7093155,2019128,8044138,6069146,1094155,3020129,0045139,0070146,3095155,5021129,2046139,0071146,3096156,2022129,6047139,2072146,3097156,8023130,4048139,4073146,4098159,8024130,8049139,6074147,4099163,8025131,2050139,6075147,80100164,20

Определяем среднее результатов наблюдений по формуле (1)

139,6

Дисперсию вычисляем по формуле (2):

D=122,15

S=11.05

Проверим на наличие грубых погрешностей по критерию "трех сигм": Критерий "трех сигм" применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q 0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если |xi - x| < 3?, где ? - оценка СКО измерений. Данный критерий надежен при числе измерений n ? 20…50.

 

(13)

 

При проверке условия (13) грубых погрешностей не обнаружено.

 

1.2.2 Проверка "нормальности" полученной выборки

Воспользуемся критерием Дэвида-Хартли-Пирсона.

Критерий нормальности распределения случайной величины основанный на распределении отношения размаха к стандартному отклонению.

Статистика критерия имеет вид:

 

 

где R- размах, вычисляемый по формуле : R=Ymax-Ymin;

S - стандартное отклонение.

Гипотеза нормальности принимается, если

Зададимся уровнем значимости , тогда R=164,2-113,8=50,4

S=11,05

По таблице 75 [4] для n=100 и находим ;

,31<4,56<5,90. так как условие выполняется следовательно гипотезу о нормальности распределения принимаем.

Также для оценки нормальности данного распределения построим гистограмму и проведем описательную статистику.

 

Таблица 3 - Описательная статистика для выборки n=100

ПараметрЗначениеПараметрЗначениеСреднее139,627Асимметричность-0,113Стандартная ошибка1,105Интервал50,400Медиана139,900Минимум113,800Мода122,800Максимум164,200Стандартное отклонение11,052Сумма13 962,700Дисперсия выборки122,154Счет100,000Эксцесс-0,621Уровень надежности(95,0%)2,193

Проверим не превышают ли значения асимметрии и эксцесса соответствующие значения дисперсий, чтобы сделать вывод о нормальности распределения. Дисперсии рассчитываем по формула