Изучение взаимодействия заряженных частиц на примере многократного кулоновского рассеяния
Курсовой проект - Менеджмент
Другие курсовые по предмету Менеджмент
?ующие три случая.
Случайная величина распределена нормально и её среднее
квадратичное отклонение известно. В этом случае с надёжностью верхняя граница ошибки
,(44)
где - число испытаний (разыгранных значений ); - значение аргумента функции Лапласа, при котором , - известное среднее квадратичное отклонение .
Случайная величина распределена нормально, причём её среднее квадратическое отклонение неизвестно. В этом случае с надёжностью верхняя граница ошибки
,(45)
где - число испытаний; - исправленное среднее квадратичное отклонение, .
Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.
Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модифификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании
2.4 Многократное рассеяние
Пусть t - длина пути, пройденного электроном между двумя актами дискретных столкновений, Е - энергия, b - скорость электрона. Азимутальный угол q многократного рассеяния разыгрывается, с учетом трех членов разложения
(46)
(47)
где ф - приведенный угол
(48)
(49)
а B - является решением трансцендентного уравнения
(50)
с точностью
(51)
где
(52)
среднее число упругих столкновений на пути t. Для приближенного учета потерь энергии вместо Е и b2 мы используем и , где 1 и 2 относятся к началу и концу пути t.
Для выборки значений q из распределения Мольер выражение можно представить в виде следующего разложения с последующим применением метода Батлера:
(53)
3. Реализация метода Монте-Карла для многократного кулоновского рассеяния заряженных частиц
.1 Рассеяние электрона на атомных электронах
Сечение рассеяния электрона на атомных электронах (или сечение образования - электронов) может быть записано в виде (формула Меллера):
(54)
Здесь- масса электрона, Z - атомный номер, - классический радиус электрона.
,
где Е - энергия электрона.
,
где Т - кинетическая энергия отдачи электрона (электрона с меньшей энергией). Кинематическая область для переменной :
(55)
Сокращение области в два раза по сравнению с е+е - рассеиванием связано с тождественностью вторичных электронов.
Тmin - пороговая (минимальная) энергия первичного электрона, начиная с которой процесс можно рассматривать как дискретный. Как и в случае е+е - рассеивания, величина Тmin берется такой, чтобы атомные электроны можно было считать свободными. Разложение Батлера для данного процесса примет вид:
(56)
(57)
(58)
Для того чтобы розыгрывать энергию отдачи электрона (напомним, электрона с меньшей энергией) необходимо:
. Разыграть переменную из :
(59)
- случайное число.
. Проверить для из (6) условия , если оно выполняется, то принимаем значение , если нет, т.е. , то начинаем с 1.
Здесь - случайное число. Энергию отдачи электрона рассчитываем по формуле:
(60)
.2 Розыгрыш дискретной случайной величины
В начале задаются константы:=0.1;=0.55;=1;=2.82;
Создание необходимой функции:
sigma [eps_, En_]:=Module[{sigm=0, g=En/m},=(g2-1)/g2;=(2Pi*r02*Z)/((g-1)*b)*1/(eps2 (1-eps)2)*(1 - (2g2+2g-1)/g2*eps*(1-eps)+((g-1)/g)2*eps2*(1-eps)2);
sigm
];
Функция режекции (из разложения Батлера):
gg [eps_, En_]:=Module[{g=0},
=En/m;=4/(92-10+5)*((-1)2*eps2 - (22+2-1)*eps/(1-eps)+2/(1-eps)2);
g
];
Розыгрыш дискретной случайной величины:
Eps [En_]:=Module[{1=RandomReal[1],2=RandomReal[1], eps=0, eps0=Tmin/(En-m)},=eps0/(1-1 (1-2eps0));[2<gg [eps, En],2=RandomReal[1]; eps=eps0/(1-1 (1-2eps0))];
eps
];
Коэффициент из разложения Батлера:
alph [En_]:=Module[{g=En/m, eps0=Tmin/(En-m), qq=0},=(2Pi*r02*Z)/((g-1)*g2)*(9g2-10g+5)/4*(1-2eps0)/eps0;
];
Функция розыгрыша длины свободного пробега (используется коэффициент из разложения Батлера):
t [En_]:=Module[{1=RandomReal[1], tt=0},
temp=alph[En];=-Log[1]/temp;[tt0.4,1=RandomReal[1]; tt=-Log[1]/temp;];
tt
];
Косинус угла отклонения частицы (по 2 энергиям):
cos3 [En1_, En3_]:=Module[{p1=, p3=},
cos=(m2+(En1+m)*En3-En1*m)/(p1*p3);
];
Энергия электрона:
[En_, eps_]:=En - (En-m)*eps;
3.3 Проверка кулоновского рассеяния
Задаем начальное значение энергии электрона:=1.3;
Строим график функции:
Plot [sigma[x, E1], {x, Tmin/(E1-m), 0.5}, PlotRange {{0. 46,0.5}, {34. 3,35.4}}]
Создаем массив из 1000 значений переменной и строим гистограмму:
cc=Table [sigma[Eps[E1], E1], {1000}];
Histogram [cc, PerformanceGoalSpeed][t[