Изучение взаимодействия заряженных частиц на примере многократного кулоновского рассеяния
Курсовой проект - Менеджмент
Другие курсовые по предмету Менеджмент
улоновского взаимодействия;
и - заряды частиц; - параметр взаимодействия. Энергия в результате упругого рассеяния не изменяется:
(6)
( - скорость налетающей частицы на бесконечности, где частица еще не взаимодействует с центром), сохраняется также момент импульса относительно центра:
(7)
Выразим из (7) и подставим эту величину в (5), откуда выразим уже :
. (8)
Знак - соответствует движению частицы к центру - до столкновения, т.е. до прохождения минимального радиуса, знак + - движению частицы от центра, т.е. после столкновения.
Уравнения (7) и (8) позволяют записать уравнение для линии движения частицы в плоскости :
.
Интегрируя, находим выражение для угла при изменении расстояния между частицей и центром от до:
(9)
Найдем угол (соответствующийминимальному расстоянию между частицей и центром ). В точкечастица поворачивает, изменяя знак производной с отрицательного на положительный, так что при. Следовательно, приполная энергия частицы равна
. (10)
Из условия (10) можно найти непосредственно, решив квадратное уравнение. Воспользуемся фактом того, что минимальный радиус является решением этого уравнения.
При движении к центру в (8), (9) надо выбирать знак -.
Тогда выражение для определения имеет вид:
(11)
Решаем интеграл. Потом находим
. (12)
Подставляя (12) в выражение (2), находим сечение рассеяния в полярный угол
(13)
а подставляя (12) в (3) - сечение рассеяния в телесный угол
(14)
Как видно из (13), (14), сечение рассеяния не зависит от знака , т.е. от знака зарядов частиц.
Сечение рассеяния (13) называется формулой Резерфорда. Интересно, что именно изучение рассеяния - частиц на атомах способствовало возникновению современной, так называемой, планетарной модели атома.
1.2Ионизация
1.2.1Лабораторная система координат
Для начала продолжим изучение взаимодействия частиц с точки зрения классической механики. Рассмотрим столкновение двух частиц с одинаковой массой, причем одна из частиц (вторая) до столкновения покоилась. Запишем законы сохранения энергии и импульса в лабораторной системе координат, отметив штрихом величины после столкновения:
Возводя в квадрат второе выражение, получаем соотношение которое может быть совместимо с законом сохранения энергии только в том случае, если косинус угла между векторами скоростей частиц после соударения равен нулю, т.е. сам угол = 90 - частицы после столкновения разлетаются под прямым углом.
,
Как было показаноранее, центр масс движется с постоянной скоростью. Таким образом, и до и после соударения центр масс имеет одну и ту же скорость; если до удара одна из частиц двигалась со скоростью, а другая покоилась, то центр масс перемещается с постоянной скоростью
.
Найдем теперь связь между углами рассеяния налетающей частицы в системе центра масс и в лабораторной системе координат (угол рассеяния - это угол отклонения частицы от направления первоначального движения).
В лабораторной системе координат закон сохранения импульса в проекциях на ось х, направленную вдоль первоначального движения первой частицы (рис. 1.2), запишется как
,
Рисунок 2: Диаграмма скоростей при рассеянии частиц одинаковой массы в лабораторной системе координат:
угол между
в проекции на ось у, перпендикулярную направлению движения -
Так как и получаем:
откуда
Таким образом, в лабораторной системе координат проекции скорости первой частицы после соударения на оси равны и В системе центра масс указанные проекции скорости равны соответственно и (центр масс движется вдоль оси х со скоростью). Косинус угла между векторами скорости первой частицы до и после столкновения в системе центра масс равен
где - скорость в системе центра масс до удара.
Подставляя выражения для скоростей, находим:
Следовательно, угол рассеяния в системе центра масс в 2 раза больше угла рассеяния в лабораторной системе координат:
(15)
1.2.2Ионизация электронами (I)
Задачу об ионизации атома электроном можно свести к задаче о взаимодействии двух электронов: налетающего и электрона оболочки, который мы будем считать свободным. При соударении электроны обмениваются энергией: налетающий электрон теряет энергию
(где E - энергия налетающего электрона на бесконечности); такую же энергию приобретает электрон оболочки. Если эта энергия превысит энергию ионизации I, т.е. энергию связи электрона с атомом, электрон покинет оболочку атома - произойдет ионизация атома.
Сечение ионизации в данном приближении совпадает с сечением Резерфорда упругого соударения двух электронов (13):
в котором следует записать приведенную массу через массу электронов:, а также выразить угол рассеяния в системе центра масс через угол рассеяния в лабораторной системе координат (15):
(16)
Подставляя связь угла рассеяния с энергией , получаем сечение рассеяния в зависимости от передаваемой при столкновении энергии:
(17)
Вооб?/p>