Изучение взаимодействия заряженных частиц на примере многократного кулоновского рассеяния
Курсовой проект - Менеджмент
Другие курсовые по предмету Менеджмент
оизводной вектор-потенциала по времени с точностью до слагаемого, представляющего собой градиент некоторого скалярного потенциала:
(30)
Подстановка (30) удовлетворит (29), так как ротор градиента равен нулю.
Таким образом, вместо того чтобы искать непосредственно напряженности электрического и магнитного полей, можно найти векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля, после чего по формуле (28) можно будет восстановить напряженность магнитного, а по (30) - электрического поля.
Запишем уравнение для определения векторного потенциала. Для этого подставим в первое уравнение (27) выражения (28) и (30), в результате получим:
(31)
так как.Далее, заметим, что потенциалы определены не однозначно: к векторному потенциалу можно прибавить градиент произвольной функции, что изменит также скалярный потенциал, но не изменит напряженностей электрического и магнитного полей. Чтобы устранить эту неоднозначность, потребуем выполнения дополнительного условия, налагаемого на потенциалы:
(32)
Условия типа (32) называются калибровкой потенциалов; в данном случае используется калибровка Лоренца. Так как согласно (32) первый член слева в (31) равен нулю, то для векторного потенциала получаем уравнение
(33)
Количество энергии, излучаемой в единицу времени в единичный телесный угол, определяемый полярным углом и азимутальным углом , можно найти, умножив плотность потока энергии в направленииnна площадь элементарной площадки сферы оно равно:
(34)
Полное количество энергии, излучаемое в единицу времени во всех направлениях, находится путем интегрирования (34) по всем углам:
(35)
В рассматриваемом приближении излучение системы зарядов обусловлено переменным во времени дипольным моментом этой системы, поэтому излучение, описываемое (35), называется дипольным излучением.
1.3.2 Излучение при кулоновском рассеянии
Заряженные частицы, пролетая одна мимо другой, представляют собой не что иное, как систему с переменным во времени дипольным моментом, следовательно, кулоновское, рассеяние, рассмотренное нами ранее, должно сопровождаться также потерей энергии на излучение согласно (35).
Рассмотрим столкновение двух заряженных частиц в системе центра масс, тогда дипольный момент
где- вектор расстояния между частицами;- приведеннаямасса;
. Для выражения (35) требуется вторая производная от дипольного момента по времени, которая в случае, когда масса и заряд частиц остаются постоянными, равна:
(36)
Далее будем считать, что потери на излучение малы, так что задачу можно разделить на два этапа: сначала найти уравнение для фазовой линии движения заряженных частиц, а затем вычислить энергию, излучаемую за все время пролета частиц.
Вернемся к уравнению (9) связи между rи, в котором угол отсчитывается от направления движения частицы в сторону угла рассеяния, так что значению = 0 соответствует, находим после интегрирования:
(37)
для > 0, т.е. для отталкивания одноименно заряженных частиц, и
(38)
для < 0, т.е. для притяжения разноименно заряженных частиц.
Здесь - угол, соответствующий минимальному расстоянию между частицами; Е - энергия частиц; М - момент импульса.
Перейдем к определению полной энергии, излучаемой при столкновении заряженных частиц:
где скорость потери энергии d/dt определяется по (35). Используя выражение для момента импульса (4), можно выразить
Далее, подставляя для дипольного момента (36), получаем:
Подставляя (37) и / или (38), находим при тогда излучаемая энергия:
(39)
1.3.3 Потери на излучение
слой вещества толщиной dx. Пусть в единице объема вещества содержится n атомов, при взаимодействии с ядром каждого из них частица теряет энергию. В слое толщиной dx находятся ядер, для которых прицельный параметр равен, суммарные потери энергии частицы составляют:
При рассмотрении медленно (по сравнению со скоростью света) движущейся частицы при пренебрежении ее взаимодействием с ядрами на малых расстояниях, иначе говоря, с малым прицельным параметром, получаем:
(40)
Можно считать, что пределы применимости (39) начинаются примерно при , т.е. при. Тогда для потерь энергии на единицу длины получаем
(41)
Формула, определяющая потери энергии на излучение на единицу длины электроном, скорость которого близка скорости света:
(42)
2. Метод Монте-Карло
.1 Случайные числа и их применение при решении физических задач
При решении многих физических (и не только физических) задач необходимы случайные числа. И, следовательно, нам необходим механизм получения случайных чисел или генератор случайных чисел.
Различают три способа получения случайных величин:
таблицы случайных чисел;
генераторы случайных чисел;
метод псевдослучайных чисел.
2.1.1 Таблицы случайных чисел
Табличный метод основан на использование заранее созданных таблиц случайных чисел с различными распределениями. В ходе расчёта, когда требуется значение случайной величины, берется значение из таблицы. Необходимо отметить, что составит