Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Міністерство освіти і науки України
Сумський державний університет
Кафедра інформатики
Курсова робота
на тему:
Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток
Суми 2006
Вступ
Актуальність теми. Задачі, що відносяться до диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку, виникають у різних прикладних областях, зокрема в задачах акустики, електродинаміки, динамічної теорії пружності тощо. Найчастіше при їх розвязуванні використовують метод скінчених різниць(метод сіток). За цим методом вихідну диференціальну задачу у частинних похідних замінюють відповідною різницевою схемою, що є системою скінченої кількості алгебраїчних рівнянь. Тобто для розвязування неперервної задачі будують дискретну модель, характер поведінки якої описують різницеві рівняння. Очевидно, будь-яка дискретна модель не тотожна вихідній неперервній задачі.
Особливістю наближених методів є те, що кожному рівнянню можна поставити у відповідність велику кількість різницевих апроксимацій, що мають майже однакові характеристики. Тому побудова різницевих схем, властивості яких якнайповніше відповідають вихідній диференціальній задачі, суть і предмет методу скінчених різниць, а розвиток теорії різницевих схем природно шукають у покращенні порядку апроксимації, а також у зменшенні кількості арифметичних операцій для знаходження розвязків. Іншими словами, різницева схема повинна якомога краще моделювати властивості вихідного диференціального рівняння, до того ж кількість арифметичних дій, потрібних для знаходження розвязку, має бути по можливості пропорційна кількості вузлів сітки.
Побудова різницевих схем для рівнянь у частинних похідних з узагальненими розвязками, швидкість збіжності яких узгоджена з гладкістю цих розвязків, привертає сьогодні особливу теоретичну увагу. Як зазначається або приймається за очевидне у кожній роботі з чисельних методів, основним питанням для теорії та практики наближених методів є питання точності розвязку. Дослідження задач з негладкими розвязками для рівнянь гіперболічного типу потребують особливої уваги через те, що негладкості середовища для таких рівнянь не зникають з часом. Проблема узагальнюється таким чином: як покращити точність наближеного методу, не збільшуючи при цьому паразитичних осциляцій, які зявляються при переході на кожний наступний ярус. Це явище виникає, коли розвязок негладкий, має розриви та особливі точки (наявні сконцентровані зовнішні сили, точкові джерела тощо). Причина таких осциляцій дисперсія різницевої схеми по відношенню до диференціальної задачі, тобто відмінність (відставання або випередження) фазової швидкості сіткових гармонік від гармонік диференціальних. Звідси ясно, якою важливою є побудова таких схем для розвязування гіперболічних рівнянь, де враховані дисперсійні властивості неперервної моделі і, можливо, до мінімуму зведений спотворюючий вплив цих властивостей.
Стан проблеми. Огляд літератури. Проблема існування дисперсії розглядалася багатьма авторами. Першими роботами, у яких було відмічено звязок між дисперсією різницевих схем та втратою точності розвязків рівнянь гіперболічного типу, були роботи К. Роберта, В. Вайса та Дж. Фромма, в яких дисперсія досліджувалася для різних різницевих схем, що апроксимують гіперболічне рівняння першого порядку. Надалі на існування дисперсії для одновимірних рівнянь вказувалося в роботах С. Орзаґа, Р. Чина. М.М. Москальковим показаний звязок осциляцій сіткових розвязків з дисперсією гармонік різницевої схеми для одновимірних гіперболічних рівнянь як першого, так і другого порядку. Різними авторами проводився дисперсійний аналіз для різних задач математичної фізики. Для рівнянь газової динаміки розвязувалися проблеми звязку дисперсії та стійкості різницевих схем. Для спектральних методів розвязування задач гідродинаміки подібні проблеми ставилися. Огляд робіт, присвячених цьому питанню, можна знайти в роботі Л. Трефетхена, де досліджувалися дисперсійні властивості різницевих схем, що апроксимують двовимірне хвильове рівняння. За допомогою методу диференціальних наближень проблема дисперсії також досліджувалася.
Пропонувалися різні методи боротьби з наслідками дисперсії паразитичними осциляціями розвязків гіперболічних рівнянь. Один з них введення в рівняння так званої штучної вязкості (див. роботу П.Роуча). Однак цей спосіб не завжди задовільний: втрачається справжній профіль розвязку та ускладнюються алгоритми, особливо, коли необхідно працювати з великою кількістю вузлів сітки. За іншими методами, що враховують існування дисперсії, пропонується вводити додатковий антидисперсійний ярус, або розглядати не ортогональні сітки як на площині, так і в тривимірному просторі.
В роботах О.С. Макаренка та М.М. Москалькова було вперше доведено, що в двовимірному випадку, виявляється, існує залежність дисперсії різницевої схеми не лише від номера сіткових гармонік, а й від напрямку руху хвилі. Для неявних різницевих схем для двовимірного гіперболічного рівняння було показано, що можна суттєво покращити дисперсію у заданому напрямку руху хвилі за допомогою вибору вагів схеми.
В роботі В.Л. Макарова, С.В. Макарова, М.М. Москальков