Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
узлів
р=0,1,2,…,задане.
Доведено, що якщо gi,k<0, то послідовні наближення збігаються до точного розвязку різницевої схеми ui,k або системи рівнянь (14), (15) і має місце оцінка
max
i,k i,k
де q=max .
i,k
Доведення цього твердження полягає в перевірці умови збіжності методу простої ітерації для системи лінійних рівнянь, при цьому мається на увазі, що невідомий вектор утворює елементи ui,k. Наприклад, компоненти вектора можна перенумерувати таким чином: нехай тоді
x1= u1.1, x 2 =u 2.1,…, x N1 = u N1.1;
x N1+1=u 2.1 x N1+2 =u 2.2,…, x 2N1 =u N1.2;
…………………………x N1N2 =u N1N2.
Відносно вектора = різницева схема є системою лінійних рівнянь в матричному записі де матриця А має в кожному рядку не більше пяти елементів
.........
........
А=... ... .. ...
... ... .. ...
.........
Це повязано з тим, що похідні в кожному внутрішньому вузлі (i,k) апроксимувались за пятьма сусідніми вузлами.
Розвязання різницевих рівнянь при h 0 збігається до точного розвязання крайової задачі зі швидкістю, яка визначається порядком апроксимації рівнянь та крайових умов. Таким чином, для точного розвязання (u(x,y)) оцінки похибки
max O(h2), h 0 (16)
i, k
Оцінка похибки (16) є справедливою, якщо точний розвязок неперервно диференційований чотири рази в області G. Для областей з кутовими точками, наприклад прямокутника, взагалі кажучи, u(x,y) . Але якщо гранична функція, тобто задовольняє в кутах спеціальні умови узгодження, то точний розвязок u(x,y) і є вірною оцінка (16).
Для прямокутної області G= такими умовами узгодження можуть бути:
достатня гладкість ;
функція повинна задовольняти в кутах прямокутника диференціальне рівняння.
Оцінка похибки (8.96) має в основному теоретичне значення, оскільки містить константу С, яку практично важко визначити
max ch2+ O(h2), h 0
i, k
Тому в реальних розрахунках використовується правило Рунге оцінки похибки, аналогічне тому, яке використовується в чисельному розвязанні задачі Коші і розвязанні звичайних диференціальних рівнянь. Робиться два варіанти розрахунку з кроком h та ; тоді похибка має вигляд
max max +О(h2)
і головна частина похибки визначається на вузлах,що збігаються.
Потрібно зазначити,що рівномірними прямокутними сітками найбільш зручно користуватиcя при розвязанні задач у прямокутних областях. Якщо область має форму паралелограма(скошена система),то користуються координатами,осі яких паралельні сторонам цього паралелограма. Декартові прямокутні координати повязані з косокутними координатами співвідношеннями , де а - кут між . У диференціальних виразах похідні за х та у замінюються похідними за . Усі похідні апроксимуються за допомогою центральних різниць. Якщо область має форму кола, зручно користуватись полярними координатами
Наведемо деякі загальні зауваження. При чисельному розвязанні крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних методом сіток можуть бути використані тільки різницеві схеми, які збігаються, оскільки в цьому разі можна розраховувати на отримання наближеного розвязку задачі, достатньо близького до точного. Але й різницеві схеми, що збігаються не завжди можуть бути використані при практичному розвязанні задачі, оскільки при використанні методу сіток при обчисленні значень граничних функцій та правої частини виникають похибки. Щоб ці похибки не спотворили істинного розвязання різницевої схеми, остання повинна бути стійкою за граничними умовами і за правою частиною. При використанні нестійкої різницевої схеми спотворення істинного розвязку тим сильніше, чим дрібніша сітка; при використанні ж великої сітки не можна розраховувати на те, що розвязок різницевої схеми буде близький до точного розвязку крайової задачі для диференціального рівняння в силу поганої різницевої апроксимації рівняння.
Крім того, під час розвязання різницевої задачі в процесі розрахунків нам обовязково доведеться округляти значення розвязків у вузлах сітки. Ці помилки можуть значно спотворити картину розвязання, тому необхідною вимогою є стійкість різницевої схеми що до помилок, які виникають в результаті округлення значень розвязку у вузлах сітки. Оскільки помилки округлення значень розвязку в вузлах сітки, принаймні, в найпростіших випадках можна компенсувати зміною правої частини різницевого рівняння, то особливо суттєвою є вимога до стійкості правої частини. Необхідно взяти до уваги й числовий алгоритм, який використовується для розвязання різницевої схеми. Навіть у випадку, коли різницева схема стійка за граничними умовами і за правою частиною, при невдалому виборі алгоритму для розрахунку розвязання цієї різницевої схеми може відбутися сильне накопичення обчислювальної похибки, у цьому разі нестійким буде сам процес розрахунку. Нестійкі алгоритми розрахунку практично непридатні у випадку дрібної сітки.
Вибір оптимального кроку
Припустимо, що межа абсолютної погрішності при обчисленні функції в кожній точці задовольняє нерівність
(17)
Хай в деякій околиці крапки похідні, через які виражаються залишкові члени, безперервні і задовольняють нерівностям
(18)
де - деякі числа. Тоді повна погрішність (без урахування погрішностей округлення) не перевершує відповідно величин
Мінімізація по цих величин приводить до наступних значень:
(19)
при цьому