Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
схема, що сходиться, повинна давати рішення, яке прагне істинного рішення ДР при подрібненні сітки. Порушення збіжності може бути обумовлено наступними причинами:
Неузгодженість PC з початковим ДР. При подрібненні сітки значення шуканої функції при заданих незалежних змінних прагне певної межі. але ця межа не співпадає з істинним рішенням.
Нестійкість PC. При подрібненні сітки значення шуканої функції при заданих незалежних змінних не прагне певної межі. У будь-якому випадку в ході обчислювального експерименту нестійкість проявляє себе як швидке, катастрофічне наростання чисел.
Математичні основи питань збіжності добре розвинені тільки для лінійних ДР. Результати лінійної теорії використовуються у вигляді навідних міркувань для нелінійних задач, а їх застосовність перевіряється потім в ході обчислювального експерименту. Для лінійних ДУ в ЧП існує т.н, теорема Лакса, яка говорить, що за наявності стійкості апроксимація є необхідною і достатньою умовою збіжності PC.
апроксимація + стійкість => збіжність PC
У вживанні до нелінійних ДР в ЧП використовування теореми Лакса припускає використовування принципу "заморожених" коефіцієнтів. Під методом "заморожених" коефіцієнтів розуміють простий прийом, коли коефіцієнти в ДР замінюють деякими константами і аналізують одержане ДУ з постійними коефіцієнтами. Якщо аналіз показує нестійкість PC для "заморожених" коефіцієнтів, то таку схему виключають з розгляду. Якщо ж схема для рівняння з "замороженими" коефіцієнтами буде злагодженою і стійкою, тобто надія, що ця схема буде тією, що сходиться і для нелінійного ДР.
Так, щоб бути упевненим, що PC, що використовується, дає рішення, що сходиться при подрібненні сітки до істинного рішення початкового ДР, необхідно довести її узгодженість і стійкість.
Погрішність апроксимації
PC апроксимації ДР злагоджена з початковим ДР (або апроксимує ДР), якщо в межі, коли розміри осередків сітки прагнуть нуля, PC еквівалентна даному ДР в кожній з вузлових точок, тобто
PC і ДР при цьому записують, перекидаючи всі члени в одну сторону (щоб з другого боку залишився нуль).
Кількісною характеристикою узгодженості є погрішність (помилка) апроксимації ДР даної PC
Е=(РС-ДУ).
В термінах погрішності апроксимації: PC злагоджена з своїм ДР, якщо погрішність апроксимації у всіх вузлах сітки прагне нуля при будь-якому подрібненні кроків сітки.
Провідні члени погрішності називаються порядком апроксимації ДР даної PC.
Як правило:
для тих PC, що сходяться помилка чисельного рішення зменшується подібно погрішності апроксимації;
порядок апроксимації ДР (провідні члени погрішності апроксимації) визначається порядком точності формул, використаних для апроксимації похідних;
для злагоджених явних PC можна встановити співвідношення між кроками сітки, при виконанні якого досягається більш високий порядок апроксимації.
Висновок
Диференціальні рівняння в частинних похідних є широко вживаним математичним апаратом при розробці моделей в самих різних областях науки і техніки. На жаль, явне рішення цих рівнянь в аналітичному вигляді виявляється можливим тільки в окремих простих випадках, і, як результат, можливість аналізу математичних моделей, побудованих на основі диференціальних рівнянь, забезпечується за допомогою наближених чисельних методів рішення. Обєм виконуваних при цьому обчислень звичайно є значним і використовування високопродуктивних обчислювальних систем є традиційним для даної області обчислювальної математики. Проблематика чисельного рішення диференціальних рівнянь в частинних похідних є областю інтенсивних досліджень.
Стосовно самої теми курсової роботи, треба відзначити, що збіжність рішень ДРЧП досягається, в першу чергу через теорему Лакса апроксимація + стійкість породжує збіжність. Також треба зазначити, що на збіжність також впливає, хоча і в меншій мірі, вибір кроку розбиття сітки, а також різноманітні похибки, хоча вони і не значно впливають на розвязок, проте дещо спотворюють його. Тому, щоб досягти найбільш точного і оптимального рішення потрібно враховувати всі фактори, що можуть впливати на збіжність і точність даного розвязку.
Література
Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи.-К.: Либідь, 1996.-288с.
Лекції по чисельним методам Л.Д. Назаренко.