Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
(19а)
Якщо при вибраному для якої-небудь значенні відрізок не виходить за межі околиці точки, в якій виконується відповідна нерівність (17), то знайдене є оптимальним і повна погрішність чисельного диференціювання оцінюється відповідною величиною (19).
Дослідження точності
Дослідження точності одержаних виразів при чисельних розрахунках зручно робити за допомогою апостеріорної оцінки, по швидкості убивання членів відповідного ряду Тейлора. Якщо крок сітки достатньо малий, то погрішність близька до першого відкинутого члена.
Таким чином порядок точності результату по відношенню до кроку сітку рівний числу залишених в ній членів, або іншими словами, він рівний числу вузлів інтерполяції мінус порядок похідної. Тому мінімальне число вузлів необхідне для обчислення m-ой похідної, рівне m+1; воно забезпечує перший порядок точності.
Ці висновки відповідають принципу: при почленном диференціюванні ряду швидкість його збіжності зменшується.
Якщо врахувати погіршення збіжності ряду при диференціюванні, то можна зробити висновок: навіть якщо функція задана добре складеною таблицею на досить докладній сітці, то практично чисельним диференціюванням можна визначити першу і другу похідні, а третиною і четвертую лише задовільно. Більш високі похідні рідко вдається обчислити із задовільною точністю.
Структура похибки розвязку задачі
Побудувавши математичну модель, намагаються знайти її розвязок. Для складних прикладних задач, як правило, не існує точного розвязку у вигляді явних формул або скінченої послідовності арифметичних операцій, кожна з яких виконується точно. Тоді вдаються до чисельних методів могутнього математичного засобу розвязування задач. Найпростіші чисельні методи виникли і широко використовувалися задовго до появи ЕОМ. Але є багато прикладних задач, для яких знайти розвязок без застосування ЕОМ практично неможливо. Сучасні швидкодіючі ЕОМ стали стимулом для розробки нових чисельних методів.
Застосовувати чисельні методи для розвязування прикладних задач на базі ЕОМ треба обережно, оскільки точність знайденого розвязку залежить від багатьох факторів. При цьому слід уміти оцінити похибку обчисленого розвязку.
Похибка розвязку задачі складається з похибки математичної моделі, неусувної похибки, похибки методу і обчислювальної похибки.
Похибка математичної моделі повязана з тим, що модель описує явище наближено, з припущеннями і спрощеннями. Тому треба мати уявлення про точність кінцевого результату, щоб спростити побудову математичної моделі.
Неусувна похибка зумовлена похибками у вхідних даних задачі. Вона залежить від методу розвязування задачі. Але, щоб правильно обрати метод і визначити точність обчислень, важливо знати межі неусувної похибки.
Похибка методу повязана з необхідністю заміни неперервної моделі дискретною або з обривом нескінченного ітераційного процесу після скінченої кількості ітерацій.
Знайти чисельно розвязок у(х) в усіх точках відрізка [а;b] неможливо, оскільки їх безліч. Тому на відрізку [а;b] беруть скінчену кількість точок (хі = a+ih, i = 0,1.....п, а + пh<=b<a +(п + 1)h) і тільки
в них знаходять значення у(х). Початкове значення y(a)=y0 нам відоме. Для знаходження інших значень уi= у(хі) (i = 1,2,.., n) диференціальне рівняння розглядають не на всьому відрізку [a;b], а тільки в зазначених точках y(xi)=f(xi,y(xi)).
Замінивши похідну у(х) її наближеним значенням (уi+1 - уі)/h, дістають систему рівнянь
уi+1 - уі = пf(хі, уі), i = 0,1,2,...,n-1. (20)
Звідси послідовно знаходять y1, y2,… yn.
Якщо в рівняння (20) замість уi i уi+1 підставити точні значення розвязку у(хi) і y(xi+i)> то рівності задовольняться лише наближено.
Похибку, яку дістають від заміни неперервної моделі дискретною, називають похибкою дискретизації (або похибкою апроксимації),
Крім похибки дискретизації, існує інший тип похибки чисельних методів. В основі багатьох методів лежить ідея ітераційного процесу, в ході якого будується за певним правилом послідовність наближень до розвязку задачі. Якщо ця послідовність має границю, коли кількість членів послідовності прямує до нескінченності, тоді ця границя буде розвязком даної задачі. Але на ЕОМ можна обчислити тільки скінчену кількість членів послідовності. Похибку, спричинену обривом ітераційного процесу, називають похибкою збіжності. Похибку методу намагаються звести до величини, яка в кілька разів менша від похибки вхідних даних.
Отже, похибку чисельного методу можуть утворювати похибки дискретизації або похибки збіжності, або ж для деяких методів обидва типи похибок одночасно. Всі ці похибки, а також методи їх аналізу і регулювання розглядаються при побудові конкретних чисельних методів.
Обчислювальні похибки повязані з похибками округлення чисел. Обчислення, як ручні, так і на ЕОМ, виконують з певною кількістю значущих цифр. Це вносить у, результат похибку округлення, яка нагромаджується в ході обчислень. Похибки округлення можуть по-різному впливати на кінцевий результат. У результаті виконання мільйонів операцій, кожна з яких вносить невелику похибку, сумарна похибка округлень може значно перевищити шуканий результат обчислень. Але в окремих операціях похибки округлень можуть мати різні знаки і частково компенсувати одна одну. Тому, якщо немає систематичних причин, випадкове нагромадження похибок округлення незначне.
Систематичною пр?/p>