Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
а було помічено, що у різницевих схем на правильних трикутних сітках дисперсійні властивості кращі за дисперсійні властивості схем на звичайних шаблонах прямокутної сітки. Пояснюється це тим, що існує залежність між виглядом шаблону та дисперсією схеми. Відмічалося, також, що на правильній трикутній сітці можна побудувати схеми четвертого порядку точності для рівняння Пуассона. Вперше подібне покращення апроксимації для не ортогональних сіток розглядав В.І. Лебедев.
Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних 2-го порядку
Загальний вигляд диференціальних рівнянь у часткових похідних 2-го порядку:
(1)
Розвязком рівняння (1) називається функція u=u(x,y), що перетворює це рівняння на тотожність. Графіком розвязку є поверхня в просторі Oxyu.
Рівняння (1) називається лінійним, якщо воно першого степеня щодо шуканої функції і всіх її похідних і не містить їхніх добутків, тобто це рівняння може бути записане у вигляді
(2)
У загальному випадку A,B,C,a,b,c - це коефіцієнти, що можуть залежати тільки від х,у. Уводиться визначення дискримінанта:
У залежності від знака дискримінанта D лінійне диференціальне рівняння (2) відноситься до одного з наступних типів:
Якщо D>0, то рівняння еліптичне.
Якщо D=0, то рівняння параболічне.
Якщо D<0, то рівняння гіперболічне.
Якщо D не зберігає знак рівняння змішаного типу.
Приклади:
рівняння еліптичного типу.
- рівняння параболічного типу.
рівняння гіперболічного типу.
Рівняння вигляду - називається характеристичним рівнянням. Розвязки цього рівняння називають характеристиками.
Початкові і крайові умови
Диференціальні рівняння в часткових похідних мають незлічену множину розвязків, тому для однозначності розвязку необхідно до вихідного рівняння приєднати додаткові умови. Для диференціальних рівнянь у часткових похідних 2-го порядку вони можуть бути початковими і граничними. По суті, розрізнити ці умови можна лише в тому випадку, коли одна з незалежних змінних диференціального рівняння відіграє роль часу, а інша роль координати. Тоді якщо умови задані для початкового моменту часу, то це початкові умови, а умови, що відносяться до фіксованих значень координат граничні або крайові.
Представлення часткових похідних у скінчено-різницевому вигляді
Розглянемо диференціальне рівняння ;
Апроксимуємо часткові похідні відповідними різницями:
.
Аналогічно можна записати
тобто різницю зміщаємо до центра
Формула для змішаної похідної
Ці формули переходу до різницевих схем можна записати, використовуючи позначення:
,
,
.
Скористаємося розкладанням у ряд Тейлора:
Для того, щоб оцінити похибку 2-ої похідної заміняємо в першій заміні, у другій заміні .
Отже, для
а для
Користуючись цими розкладаннями, одержимо
Аналогічну формулу можна записати для похідної по у.
.
Аналогічно можна одержати оцінки для інших похідних.
Метод сіток
Ідея методу сіток відома давно ще за часів Ейлера. Однак, практичне використання цього методу наштовхувалося на серйозні труднощі, тому що одержання з його допомогою досить точного розвязку крайової задачі звичайно приводило до колосальних систем алгебраїчних рівнянь, на розвязок яких при ручному розрахунку були потрібні роки. Положення різко змінилося з появою електронних обчислювальних машин. Метод сіток допускає зручну реалізацію на ЕОМ, тому що застосування його зазвичай зводиться до масової повторюваності однорідних циклів. В даний час метод сіток є одним з найбільш ефективних методів розвязку лінійних диференціальних рівнянь. Метод сіток (інакше метод скінчених різниць) для наближеного розвязку крайових задач двовимірних диференціальних рівнянь полягає в наступному:
У плоскій області G, у якій розшукується розвязок, будується сіткова область Gh, що складається з однакових осередків і наближає дану область G;
Задане диференціальне рівняння заміняється у вузлах побудованої сітки відповідним скінчено-різницевим рівнянням;
На підставі граничних умов установлюються значення шуканого розвязку в граничних вузлах області Gh
Розвязавши отриману систему скінчено-різницевих рівнянь, ми знайдемо значення шуканої функції у вузлах сітки, тобто будемо мати чисельний розвязок нашої задачі. Вибір сіткової області здійснюється в залежності від конкретної задачі, але у всіх випадках контур Гh сіткової області Gh варто вибирати так, щоб він якнайкраще апроксимував контур Г заданої області G. Сітка будується таким чином, щоб вузли (xi,yi) сітки Sh або належали області G, або відстояли від її границі Г на відстань меншому, ніж h. Точки (вузли) сітки Sh називаються сусідніми, якщо вони розміщені один від одного в напрямку осі Ох або осі Оу на відстань, що дорівнює кроку сітки h. Вузол Ah сітки Sh називається внутрішнім, якщо він належить області G, а всі чотири сусідніх з ним вузла множині Sh; інакше він називається граничним. Граничний вузол сітки Sh називається вузлом першого роду, якщо він має сусідній внутрішній вузол цієї сітки, інакше граничний вузол називається вузлом другого роду. Внутрішні вузли і гра