Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ничні вузли першого роду сітки Sh називаються розрахунковими точками. Граничні вузли другого роду не входять в обчислення і можуть бути вилучені із сітки.
На перший погляд процедура застосування методу сіток, що складається з трьох етапів, може здатися простою і легко реалізованою. Однак насправді це не так. Через велику розмаїтість типів і розмірів сіток, видів рівнянь у часткових похідних, граничних і початкових умов, можливих кінцево-різницевих апроксимацій цих рівнянь і методів їхнього розвязку, чисельне розвязку рівнянь у часткових похідних вимагає модифікацій алгоритму при розгляді кожного конкретного приклада.
Стійкість скінчено-різницевої схеми для розвязку рівнянь параболічного типу (рівняння теплопровідності)
Як приклад рівняння параболічного типу розглянемо рівняння теплопровідності:
,
де u=u(x,t) температура, t час, - довжина стрижня.
Для простоти покладемо, а=1.
Початкові і крайові умови:
,
и..
При використанні скінчено-різницевої схеми для розвязку крайової задачі виникає питання про стійкість такої схеми. Під цим розуміють наступне: скінчено-різницева схема називається стійкою, якщо малі похибки в процесі розвязку загасають або у всякому разі залишаються малими при необмеженому збільшенні номера поточного шару.
Для рівняння
(3)
скінчено-різницева схема матиме вигляд:
.(4)
Зясуємо умови стійкості з граничними і початковими умовами
(5)
Маємо:
і ,
де , .
Переходячи до скінчених різниць у рівнянні (4), будемо мати:
=0 (6)
У граничних вузлах сітки Г виконані такі умови:
, , .
Припустимо, що в точках початкового шару t=0 допущена помилка , тобто
,
і нехай - розвязок рівняння (6):
. (7)
яке задовольняє граничним умовам, що містять помилку:
, , .
Нас цікавить, як зміниться похибка при необмеженому зростанні номера j. Віднімаючи з рівняння (7) рівняння (6), для похибки одержимо скінчено-різницеве рівняння.
=0. (8)
На границі Г області маємо:
(8а)
Частковий розвязок рівняння (8) будемо шукати у вигляді
, (9)
де числа і p (р>0) підберемо так, щоб вираз (9) задовольняв рівнянню (8) і однорідним крайовим умовам.
.
Користуючись ними маємо:
,
звідки випливає, що pl=m і (m=1,2,3……).
Отже,
.
Підставляючи цей вираз в рівняння (8), будемо мати:
(10)
Після перетворень рівняння (10) набуде вигляду:
.
Звідси
. (11)
Зауважимо, що не залежить від точки (). Таким чином, для однорідного рівняння (8) одержуємо лінійно незалежні розвязки вигляду:
(m=1,2,…....,n-1),
причому кожен розвязок задовольняє однорідним крайовим умовам.
Лінійна комбінація цих розвязків
(12)
також є розвязком рівняння (8), що задовольняє при будь-яких значеннях коефіцієнтів однорідним крайовим умовам. Ці коефіцієнти підбираються так, щоб виконувалася перша умова (8а), тобто щоб (і=1,2,…...,n-1).
Для стійкості розглянутої скінчено-різницевої схеми (6) необхідно, щоб при будь-яких значеннях постійних функція , обумовлена рівністю (12), залишалася обмеженою при .
Для цього досить, щоб для всіх m була виконана рівність:
.
Звідси
і (m=1,2,…...,n-1).
Остання нерівність буде виконана, якщо виконується умова:
.(13)
Отримані нерівності дають достатні умови стійкості розглянутої скінчено-різницевої схеми для змішаної задачі у випадку рівняння теплопровідності (параболічного типу).
Гіперболічний тип
Як приклад рівняння гіперболічного типу розглянемо рівняння коливань однорідної обмеженої струни:
,
де u=u(x,t) зсув струни, t час, - координата довільної точки струни.
Для простоти покладемо, а=1.
Початкові і крайові умови:
.
и.
Схема стійка, якщо виконано умову Куранта k< h. Це означає, що малі похибки, що виникають, наприклад, при обчисленні розвязку на першому шарі, не будуть необмежено зростати при переході до кожного нового тимчасового шару. При виконанні умов Куранта схема має рівномірну збіжність, тобто при h 0 розвязок різницевої задачі рівномірно прагне до розвязку вихідної змішаної задачі.
Недолік схеми в тім, що як тільки обрана величина кроку сітки h у напрямку x, зявляються обмеження на величину кроку за змінною t. Якщо необхідно зробити обчислення для великого значення величини T, то може знадобитися велика кількість кроків по змінній t. Зазначений недолік характерний для всіх явних різницевих схем.
Еліптичний тип
Як приклад рівняння еліптичного типу розглянемо задачу Дирихле (перша крайова задача для рівняння Лапласа ):
,
Крайова умова:
на колі (Г) виконується .
Перепишемо систему рівнянь у вигляді, зручному для застосування методу простої ітерації:
для внутрішніх вузлів
ui,k= - (14)
для граничных вузлів
(15)
Тут для внутрішніх вузлів використовувався пятиточковий шаблон, зображений. Припустимо, що gi,k<0. Розвяжемо систему рівнянь відносно ui,k методом простої ітерації згідно з ітераційним процесом:
для внутрішніх вузлів
для граничних в