Графы в обучении математике
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
Графы в обучении математике
2010 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Основные понятия теории графов
1. Основные понятия и определения
2. Маршруты (пути), циклы в графах
3. Графы деревья. Лес
4. Двудольные графы
Глава II. Графы в обучении математике
1. Моделирование в обучении математике
2. Использование графов в формировании понятия функции
3. Применение графов при построении алгоритмов решения задач
4. Граф-схемы доказательства теории
5. Поиск решения геометрических задач с помощью графов
Заключение
Литература
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время обучение математике в школе традиционно опирается на непрерывную математику. Дискретная (от лат. discretus - разделенный, прерывистый) математика - раздел математики, занимающийся изучением свойств объектов конечного характера. К их числу могут быть отнесены, например, конечные группы, конечные графы, некоторые математические модели преобразователей информации. В то же время дискретная математика является весьма интенсивно развивающейся частью математики. Дискретная математика состоит из многих разделов: теория множеств, комбинаторика, теория графов, теория вероятностей.
Среди разделов дискретной математики только теория графов отличается своей наглядностью, ее модели легки для восприятия и часто допускают занимательную, игровую интерпретацию.
Впервые основы теории графов появились в работе Л.Эйлера, где он описывал решения головоломок и математических развлекательных задач. Широкое развитие теория графов получила с 50-х годов ХХ века в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.
Настоящая работа посвящена использованию графов в качестве некоторого вспомогательного средства, позволяющего облегчить процесс обучения математике и подготовить учеников к восприятию сложных тем в курсе школьной математики.
Графы можно использовать как язык, описывающий различные ситуации, возникающие в процессе обучения.
Язык теории графов весьма естественен. Фактически люди часто пользуются графами, не догадываясь об этом, когда изображают различные дискретные объекты (населенные пункты, станки, станции, приборы, атомы и т.д.) в виде точек, кружочков, квадратиков, а связи между ними (маршруты, производственные потоки, электрические цепи, химические валентности и т.д.) - в виде линий. Поэтому применение графов не будет вызывать особых затруднений у школьников, а будет способствовать наглядности обучения, причем абстрактной наглядности, при которой реальные объекты заменяются их знаковым изображением.
С помощью графов легко иллюстрировать различные отношения между объектами и использовать иллюстрацию для дальнейшей работы.
Графы в силу своей наглядности могут служить идеальным средством для знакомства школьников с методологией построения моделей. Построение и изучение графовых моделей помогает избегать формализма в знаниях, когда ученик не видит связи математических понятий и фактов с реальным миром.
Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ
1. Основные понятия и определения
Множество самых разнообразных задач естественно формируется в терминах точек и связей между ними, т.е. в терминах графов. Так, например, могут быть сформулированы задачи составления расписания; анализа сетей в электротехнике, анализа цепей Маркова в теории вероятностей, в программировании, в проектировании электронных схем, в экономике, в социологии и т.д. Поэтому эффективные алгоритмы решения задач теории графов имеют большое практическое значение.
Граф - это система некоторых объектов вместе с некоторыми парами этих объектов, изображающая отношения связи между ними. Графами удобно изображаются сети коммуникаций, декретные многошаговые процессы, системы бинарных отношений, химические структурные формулы, различные схемы и диаграммы и др.
Неориентированный граф (соответственно ориентированный граф, или орграф) G - система G = (V, E, Г), состоящая из множества элементов V = {V}, называемых ребрами, и отображения Г: Е > V, ставящего в соответствие каждому элементу е СФ Е неупорядоченную (соответственно упорядочную) пару элементов V1, V2 СФ V, называемых концами ребра е.
V u Е образует множество элементов графов; при этом предполагается, что Е ? V = Отображение Г определяет отношение инцидентности ребра с каждым из своих концов. Для графа G = (V, Е, Г) употребляется также более короткое обозначение G = (V, E) без указания инцидентностей, которые определяются контекстом. По количеству элементов графы делятся на конечные и бесконечные. Здесь мы будем рассматривать, в основном, конечные графы, не оговаривая этого специально.
Если Г (е) = (V1, V2) - упорядоченная пара (т.е. (V1, V2) ? (V2, V1) при V1 ? V2), то ребро е называется ориентированной дугой, исходящей из вершины V1 и входящей в вершину V2; V1 называется началом, а V2 - концом дуги е. Если Г(е) = (V1, V2) - упорядоченная пара, то ребро е называется неориентированным. Всякому графу G можно поставить в соответствии соотнесенный неориентированный граф G. С теми же множествами V и Е и инцидентностями, но все пары неупорядоченные.
Так, на ребра ?/p>