Графы в обучении математике
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
изображаться одинаковыми точками, если в условии задачи эти характеристики не упоминаются. Если же для решения важен пол детей, то вершины графа нужно как-то отличать друг от друга, например, окрасить в разные цвета. Аналогичная ситуация происходит и с ребрами графа.
Во-вторых, точность модели зависит от точности решения задачи. Более подробная модель будет лучше описывать объект, но и будет более сложной для исследования. Можно подчеркнуть, что часто нам нужно решить некоторую задачу, но из-за сложности построенной модели мы не можем этого сделать и вынуждены упрощать модель.
Простейшие модели можно строить, начиная с младших классов, постепенно усложняя от класса к классу. Однако первое знакомство с понятием модели лучше проводить в старших классах. Кроме того, модели позволяют неявно знакомить учеников с важными математическими понятиями (изоморфизм и гомоморфизм), которые описывают одинаковое структурное строение различных объектов. Построение моделей тесно связано еще с одной важной задачей школьного образования: обучения учеников абстрактному мышлению.
2. Использование графов в формировании понятия функции
Особенно помогают графы при введении понятия функции и при ее изучении. Функция - это некоторое соответствие между заданными множествами. С помощью графов можно объяснить ученику, когда введенное соответствие является функцией, а когда нет, что такое обратная функция и когда она существует, что такое множество определения и множество значений функции. На факультативах графовые рисунки помогут школьнику понять, что такое биективное, сюрьективное и инъективное отображение, суперпозиция (умножение) функций и т.д. Например, соответствие между множествами Х и У, не является функцией.
На одном из уроков алгебры было сделано следующее. Рассматривались 5 соответствий, заданных с помощью ориентированных стрелок, между множествами Х = {a, b, c, d} и У = {1, 2, 3, 4}.
Каждое из соответствий анализировалось в ходе беседы, нужные сведения были записаны в виде таблицы на доске и в тетрадях учеников.
С помощью таблицы было выяснено, что соответствия f и k обладают весьма интересным свойством: каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества У. Остальные три соответствия таким свойством не обладают. Затем учитель сообщил, что такие соответствия называются функциями.
При подведении итогов учитель обращает внимание на соответствия данных в ходе урока, с помощью которых составляются ориентированные несвязные графы, помогающие ввести понятие функция.
3. Применение графов при построении алгоритма решения задач
С помощью графов (блок-схем) естественно задавать алгоритмы решения различных задач. В алгоритмы могут быть встроены как арифметические, так и логические операции. Такое задание имеет большую наглядность и облегчает школьнику понимание работы алгоритма. Ему становится ясно, почему он должен выполнять те или иные действия при различных возникающих ситуациях. Кроме того, такая форма задания диiиплинирует мышление школьника, позволяет описать все возможные случаи, не пропустив ни одного из них и не рассмотреть никакой случай дважды. Результаты выполнения действий будут меняться в зависимости от начальных условий, и школьнику станет ясно, что алгоритм нацелен на решение не конкретной, а массовой задачи, т.е. такой задачи, в которой исходные параметры могут принимать различные значения.
Рассмотрим на примере модель поиска рационального решения задачи.
Задача. Из двух точек, расстояние между которыми 1320 м, выходят навстречу друг другу 2 тела. Одно из них может пройти это расстояние за 12 минут; скорость другого в 2 раза больше скорости первого. Через сколько минут тела встретятся?
Решение.
Покажем модель поиска некоторых уравнений к данной задаче, именно тех, которые расположены в ближайших строках графа, т.е. наиболее рациональных. Вершины 1, 2, 3, 4 расположены в первой строке и моделируют данные искомые задачи.
На рисунке указаны краткие обозначения моделируемых ими объектов. Так, вершина 1 моделирует расстояние АВ (1320 м); вершина 2 - время движения первого тела на пути АВ (12 мин.); вершина 3 - соотношения: скорость второго тела больше скорости первого в 2 раза или время движения первого тела на каком-то пути больше времени движения второго на том же пути в 2 раза; вершина 4 - искомое время движения первого тела на участке АС или второго на участке ВС.
Во второй строке графа расположены вершины 5 - 9, моделирующие первую группу следствий условия задачи, полученных путем возможных операций между данными и искомыми. Так, вершина 1 соединена единственным ненаправленным ребром с вершиной 2. Это значит, что возможна единственная операция между данными 1 и 2. Операция (1, 2) определяет следствие 5 (скорость первого тела). Из вершины 2 исходят два ненаправленных ребра к вершинам 3 и 4. Операция (2, 3) определяет следствие 6 (возможное время движения первого тела на участке ВС). Между объектами 3 и 4 можно произвести две операции и получить следствие 8 (время движения второго тела на участке АС) и 9 (время движения первого тела на участке ВС). Следствие 10 есть результат операции между объектами 4 и 9 (первой и второй строк графа) и помещено в третью строку.
Ребра равно соединяют вершины 7 и 9 второй строки, вершины 2 первой и 10 третьей строк. Значит, можно составить уравнения:
2 х = 12 - х (1)
и
х = 12(2)
Уравн?/p>