Графы в обучении математике
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?тому равенства (2) и (4) выражают в частных случаях основное отношение ав = с.
Таким образом, в граф-схеме поиска решения задачи имеются только три вершины, на которых выполняется основное отношение, реализованное в задаче. Этими вершинами являются ОВ, ВЕ и АД (они обведены кружочком). Остальные вершины графа являются либо данными величинами (АВ и АС), либо вспомогательными (число ), либо такой, которой соответствует другое отношение, не являющееся основным (ВД).
Следовательно, вершины ОВ, ВЕ и АД графа поиска решения как минимальные компоненты задачи, на которых выполняется основное отношение ав = с, реализованное в задаче, являются ее элементами. Элемент (ситуация) задачи есть не что иное, как ее структурная единица.
Теперь необходимо установить связи между выделенными элементами структуры задачи. С этой целью используется граф поиска решения и чертеж к задаче. Из граф-схемы следует, что вершины ОВ и ВЕ взаимосвязаны. Действительно, они являются элементами треугольника ОВЕ и их взаимосвязь учитывалась в процессе поиска решения. Что касается вершины АД, то следует признать, что она не имеет явной связи с вершинами ОВ и ВЕ графа: вершины ОВ и АД разделяет вершина ВД, не являющаяся, как было показано выше, элементом структуры задачи, а вершины ВЕ и АД принадлежат различным ветвям графа. Чертеж к задаче подтверждает сделанный вывод.
5. Поиск решения геометрических задач с помощью графов
Самое трудное в поиске решения задачи - это установление цепочки логических следований, которая приводит к доказываемому утверждению. Чтобы научить школьников логически грамотно рассуждать, надо развивать у них навыки такого мышления, которое помогало бы им выстраивать разрозненные геометрические фанты в логические взаимосвязи.
Умение решать задачи неразрывно связано с умением кратко и точно изложить свое решение. Но у учащихся рассказ о собственном решении часто изобилует такими деталями, различными отступлениями, уточнениями, которые не являются необходимыми для обоснования рассматриваемого утверждения. Доказательства превращаются в своего рода сочинения, лишенные логической осмысленности, последовательности и краткости.
Оформление записи решения также играет немаловажную роль. Оно прежде всего должно быть наглядным. При традиционном словесно-символическом оформлении решения учащимся трудно увидеть его жесткий стержень, скрепляющий все решение в единое логически завершенное целое. Но видение учащимися самого процесса решения в его развитии и в целом очень важно для формирования их воображения. Как говорят, видение рождает мышление. Научив видеть ход решения задач как в его непосредственном рождении, так и в итоге, нетрудно сформировать у учащихся представление о взаимосвязи между различными понятиями всего курса и пониманием особой значимости этих взаимосвязей.
Весьма популярным методом, позволившим сделать доказательство более наглядным, является метод граф-схем. Он чаще всего применяется при изучении теоретических вопросов и при решении задач.
Самый бросающийся в глаза признак прогресса в решении задач - это появление все новых и новых подробностей на графической иллюстрации решения. По мере того как решающий успешно продвигается вперед, на геометрических фигурах и на диаграмме связей возникают все новые и новые линии. За все увеличивающейся сложностью чертежа мы должны ощущать развитие мысленных построений решающего. С каждым новым шагом он включает в работу новые относящиеся к делу сведения; он узнает на изучаемом рисунке какую-то знакомую конфигурацию, применяет некоторую известную ему теорему. Таким образом, умственная работа решающего представляет перед нами как воскрешение относящихся к делу элементов его опыта, как связь этого опыта с решаемой задачей, как мобилизационная и организационная работа.
Итак, рассмотрим это подробно.
Пример 1. Если прямая линия проходит через точку пересечения двух данных прямых и перпендикулярна им обеим, то она перпендикулярна и любой третьей прямой, лежащей в той же плоскости, что и данные две прямые, и проходящей через точку их пересечения.
Построим фигуру, введем нужные обозначения, а затем придадим стандартную форму предложению, которое мы собираемся доказать, расчленив его на условие и заключение.
Условие. Три отрезка ОА, ОВ и ОС пересекаются в одной и той же точке О, лежат в одной и той же плоскости и не совпадают друг с другом; кроме того, РО ОА, РО ОВ. Заключение. РО ОС.
Следующее поэтапное построение и разбор рисунка позволяет составить граф-схему для доказательства соответствующего предложения/
Пример 2. Найти объем V правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если даны ее высота h, сторона а верхнего основания и сторона b нижнего основания.
В начале нашей работы имелся некоторый элемент неопределенности. На каждом новом этапе мы надеялись, что следующий шаг приведет нас к желаемой цели, к ликвидации разрыва между неизвестным и данным. Мы так предполагали, но не были в этом уверены; на каждом этапе нам нужно было изобретать (без полной уверенности в успехе) следующий шаг. Теперь же выдумка больше не нужна, неуверенность исчезла; мы ясно видим, что сможем благополучно достичь неизвестного V, отправляясь от данных а, h и b и следуя по нитям непрерывных связей, представленных на рис.5.
Каждая линия связи на этом рисунке снабжена стрелкой, указывающей направление, в котором эта связь была использована. Мы начинали с данных величин