Графы в обучении математике
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
ой теоремы, становится заключением обратной теореме и наоборот.
Между тем метод обратных задач в нашем опыте доказал свою приложимость в практике обучения даже высшей алгебре, аналитической геометрии, математическому анализутАж Так, например, для начинающих нелегко вывести формулу производной обратной функции. Использование граф-схемы в записи делает вывод зримым, а потому более наглядным и убедительным.(рис 4).
Рис. 4
Построив на доске такую граф-схему вычисления производной функции arcsin x, учитель может поручить студенту вывести по той же схеме кратчайшим способом производную сходной функции arcos x. В этих целях, оставив все записи неизменными, цветным мелом (в тетрадях - цветной пастой) следует подписать под символом sin другой символ cos (и наоборот), изменив в соответствующих местах и знаки перед выражениями.
Существенно важно уже то, что в описываемой методике прямые и обратные теоремы следуют друг за другом, а не разведены во времени и пространстве другими теоремами.
В данной работе мы рассмотрим случай чистого обращения, далеко не исключительный, когда удается буквально на одном уроке рассмотреть доказательство прямой и обратной теоремы, причем пользуясь одной и той же граф-схемой доказательства.
Свойство параллелограмма (прямая теорема) (а > в) Если четырехугольник является параллелограммом, то в нем противоположные стороны попарно конгруэнтны.Признак параллелограмма (обратная теорема) (а < в) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно конгруэнтны, то он является параллелограммом.
На граф-схеме изображено как доказательство прямой теоремы (сплошные стрелки), так и доказательство обратной теоремы (штриховые стрелки).
Внимательный анализ схемы позволяет выявить факторы, которые нередко упускаются учащимися или учителями при обычной практике обучения доказательству теоремы.
Внимательно изучая схему, мы видим, как процесс доказательства распадается на отдельных участках на две параллельные цепи силлогизмов (умозаключений); кроме того видно, что некоторые умозаключения составные: так, для доказательства конгруэнтности треугольников необходимо установить конгруэнтность трех пар фигур (это изображено на графе тремя стрелками, направленные к знаку конгруэнтности треугольников).
Стрелки ведут мысль ученика: научиться одевать каждую из них в словесную форму - вот в чем состоит задача для школьника.
Использование граф-схем делает процесс доказательства как бы видимым. Рассмотрим случай, когда по одной граф-схеме истолковываются три процесса: два разных способа доказательства прямой теоремы и одно доказательство обратной теоремы.
Пусть доказывается теорема (прямая) о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит основание на части, пропорциональные принадлежащим сторонам.
Доказательство (I способ) (читать по граф-схеме снизу вверх по направлению сплошных тонких стрелок) 1) Проведем СС1 || ВВ1 2) , как накрест лежащие при тех же параллельных ВВ1 и СС1.
) , как соответственные при тех же параллельных.
). В этих двух соотношениях конгруэнтны левые части ; значит, конгруэнтны и правые части:
). В ? ВСС1 против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны:
). стороны , пересеченные параллельными прямыми, пропорциональны.
). Заменив равным ему числом , имеем , что и требовалось доказать.Доказательство (II способ)
(читать по граф-схеме снизу вверх по направлению штриховых стрелок).
Рассмотрим теперь другое доказательство, которое сводится в первом своем шаге не к проведению прямой СС1, параллельной ВВ1, а к построению отрезка ВС1, конгруэнтного
отрезка ВС.. Проведем
II. ? ВСС1 -равнобедренный. В ? ВСС1 против конгруэнтных сторон лежат конгруэнтные углы: . -смежные, по АВС=2тАв1(по условию). ПоэтомуСВС1 +2тАв1=180
V. Сравнивая равенства (IV) и (V), получим: . Значит . Из равнобедренного ? СВС1 имеем: СВС1 +2тАв3=180.
VII. Однако, конгруэнтные углы() суть накрест лежащие при прямых ВВ1 и СС1 по признаку параллельности ВВ1ВжВжСС1.
VIII. Из последнего следует: , или Что и требовалось доказать.
Столкновение в мыслях двух способов доказательства благодаря рассмотрению их рядом в параллельной записи по одной граф-схеме приносит ему существенно новую информацию не столько о геометрическом факте, сколько о структуре рассуждений, которая вообще не может быть добыта, если ограничиться лишь изолированным одним способом доказательства, да еще без визуализации доказательства по средствам граф-схемы.
Сплетая два взаимно дополнительных доказательства, мы приводим в движение много новых теорем, ходов, мыслей, а главное - оживляем в психике прежние связи между знаниями, которые не проявляются при ограничении одним способом доказательства.
Образно можно сказать так: две цепи суждений (способов доказательств), подобно спирали наследственного вещества, обретают прочность и устойчивость, связавшись друг с другом, ставшие предметом мысли на одном уроке.
Примечательно здесь еще и то, что та же самая схема облегчает нахождение доказательства обратной теоремы (толстыми стрелками):
Если прямая ВВ1, проведенная из вершины А к основанию ВС, делит его на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то она является биссектрисой А.
Доказательство обратной теоремы начинается с пропорции отрезков и с построения конгруэнтных отрезков: [ВC] = [BC1].