Графы в обучении математике
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
Вµние (1) 2 + 2 - 2 = 2-й сложности, уравнение (2) 3 + 1 - 2 = 2-й сложности, т.е. оба пути получения уравнений (1) и (2) одинаковой сложности. Если же продолжить граф поиска решений и дальше, то найдем иные пути решения задачи той же или большей сложности. Так, традиционное арифметическое решение, выраженное числовой формулой
будет решением 1 + 6 - 2 = 5-й сложности.
Графовая модель показала наиболее рациональные пути решения данной задачи, а также тот факт, что данное 1 в приведенной задаче является лишним, т.е. задача переопределена. Действительно, рациональные пути решения не используют данного 1.
Например, с помощью блок-схемы естественно задать алгоритм решения квадратного уравнения и системы линейных уравнений с двумя переменными (рис.1, 2).
Рис.1
Рис.2
С помощью графов (деревьев) можно изображать различные варианты в достаточно сложных комбинаторных задачах, например в задачах на взвешивание монет. Графы опишут все возможные случаи, встречающиеся в таких задачах. И здесь мы приходим к понятию алгоритма, а построенные графы, описывающие решение, позволят познакомить школьника с понятием сложности алгоритма.
Рассмотрим следующую задачу. Среди 6 монет находится одна фальшивая, но неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Среди этих монет известная также настоящая монета. Необходимо с помощью двух взвешиваний на чашечных весах определить фальшивую монету. Занумеруем монеты, и пусть монета 6 - настоящая. Обозначим через F(А) вес монет, принадлежащих множеству А. Процесс определения фальшивой монеты с помощью двух взвешиваний изображен на рис.3. Из рисунка видно, что в любом случае можно найти фальшивую монету за 2 действия (взвешивания), т.е. сложность алгоритма будет равна двум.
Построение алгоритмов в младших классах является подготовительным этапом к их изучению в старших. Ученик подойдет к началу изучения информатики с интуитивным пониманием, что алгоритм должен удовлетворять требованиям детерминированности, массовости, конечности.
Рис.3
4. Граф-схемы доказательства теорем
Методически ценно то, что понятие обратная задача позволяет с некоторой общей позиции подойти к распределению материала по классам.
Прием составления новых задач, обратных данным, является почти универсальным: он применим для любых разделов математики и всегда приводит ученика к постановке новых проблем, получению существенно иных разновидностей задач. Умение решать прямую и обратную задачи является важным критерием достигнутой учеником глубины понимания изучаемого раздела математики.
Рассмотрим следующие взаимно обратные теоремы.
ПРЯМАЯ ТЕОРЕМАОБРАТНАЯ ТЕОРЕМАВ равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, конгруэнтны.Если в треугольнике конгруэнтны три высоты, то этот треугольник равнобедренный.Рассмотрим внимательно особенности доказательства данных взаимообратных теорем. В этих целях построим цепь силлогизмов, т.е. умозаключений, имеющих следующую структуру: А). Большая посылка: Месть Р М>Р Б). Малая посылка: Ресть К Р>К В). Заключение: значит, Месть К М>КДоказательство прямой теоремы (читать по схеме сверху вниз по направлению сплошных стрелок на схеме, в последовательности силлогизмов X>Y>Z; римскими цифрами обозначены строки на граф-схеме). А). В треугольнике, против конгруэнтных сторон лежат конгруэнтные углы. Б). В ?АВС против стороны АВ лежит LС; против конгруэнтной ей стороны ВС лежит LА. В). Значит,
a). Если гипотенуза и острый угол одного треугольника конгруэнтны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
б). В ? АСА1 и ? САС1 отрезок АС - общая гипотенуза;
в). Значит,
а). В конгруэнтных треугольниках против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны.
б). Против в ? САС1 лежит сторона СС1 , а против конгруэнтного ему ? АСА1 лежит сторона АА1.
в). Значит, Доказательство обратной теоремы
(читать по схеме снизу вверх по направлению заштрихованных стрелок на схеме, в последовательности силлогизмов Z>Y>X;)
А). В треугольнике против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны.
Б). В ?АВС против лежит сторона ВС, а против конгруэнтного ему лежит сторона АВ.
В). Значит,
а). В конгруэнтных треугольниках против конгруэнтных сторон лежат конгруэнтные углы.
б). Против стороны АА1 в ? АСА1 лежит, а против конгруэнтной ей стороны СС1 в ? САС1 лежит
В). Значит,
a). Если гипотенуза и катет одного треугольника конгруэнтны гипотенузе и катету другого, то эти треугольники конгруэнтны.
б). В прямоугольных треугольниках АСА1 и САС1, АС - общая гипотенуза; (по условию)
в). Значит,
В граф-схеме показано, как можно добиться краткой и емкой записи доказательства, когда каждая стрелка (переход от строки к строке) характеризует силлогизм, причем доказательство взаимно обратных теорем совмещены визуально, пространственно. При таком способе записи информации знаки импликации (стрелки) предельно наглядно изображают как отличие, так и сходство процессов доказательства прямой и обратной теорем.
Сходство. В обоих используется одна и та же совокупность понятий и высказываний (конгруэнтные треугольники, отрезки и углы).
Различие. Высказывание, носившее логическую функцию основания в доказательстве прям