Графы в обучении математике
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
>На граф-схеме доказательство обратной теоремы показано толстыми стрелками.
Обратим внимание на чрезвычайно плотную упаковку информации в подобной граф-схеме: в самом деле, второй способ доказательства прямой теоремы и доказательство обратной теоремы зафиксированы с помощью лишь нескольких штриховых (соответственно толстых) стрелок.
В методике обучения математике под анализом и синтезом понимают два противоположных по ходу рассуждения, применяемых при решении задач и доказательстве теорем. Под анализом понимают рассуждение, идущее от искомого к тому, что дано. Синтез - это рассуждение, идущее в противоположном направлении. Анализ есть поиск решения задачи, доказательства теоремы.
обучение математика граф
Анализ и синтез неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняют друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод.
Рассмотрим пример применения анализа к поиску решения задачи.
Задача. Определить радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны 6 см и 5 см.
Дано: ? АВС, АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см,
ОВ - радиус описанной окружности.
Найти: ОВ.
Анализ: Выполненный чертеж по условию и требованию задачи позволяет выдвинуть предположение о том, что радиус ОВ описанной около равнобедренного треугольника окружности целесообразно искать, исходя из подобия прямоугольных треугольников АВД и ОВЕ (ОВЕ общий).
Так как ?ОВЕ ~ ?АВД, то откуда:
) где ВЕ и ВД неизвестны;
) ВЕ = АВ, где АВ известно;
) где АД неизвестно;
) АД = АС, где АС известно.
Поиск решения данной задачи закончен. Здесь не были выполнены обоснования каждого шага поиска, так как они очевидны. Было обращено внимание на другое, а именно на то, что неизвестно в каждой формуле, что надо искать. Действительно, обнаружив на первом шаге анализа, что величины ВЕ и ВД неизвестны, мы подбираем для их отыскания необходимые формулы. Этот процесс продолжается до тех пор, пока эти неизвестные величины не будут выражены через известные. Для того, чтобы решить задачу, достаточно осуществить обратный (противоположный) переход от четвертого действия к первому. Для облегчения выполнения указанных в поиске решения действий можно последовательно выполнять соответствующие вычисления.
Анализ в процессе поиска решения задачи или доказательства теоремы может по форме быть либо нисходящим, либо восходящим. При нисходящем анализе, исходя из предположения об истинности доказываемого предложения, получают систему следствий, необходимых для существования доказываемого утверждения. Нисходящий анализ требует синтеза - противоположного хода рассуждения. Восходящий анализ имеет целью доказать, что известные (данные в условии) соотношения являются достаточными для существования заключения доказываемого предложения. Восходящий анализ содержит в себе синтез, поэтому он не требует противоположного хода рассуждения.
Восходящий анализ имеет определенные методические преимущества: обеспечивает сознательное и самостоятельное отыскание доказательства; способствует развитию логического мышления; обеспечивает понимание и целенаправленность действий на каждом этапе рассуждения.
Схема метода проста. Она сводится к выяснению двух вопросов: что требуется найти, доказать и что для этого достаточно знать?
Однако необходимо отметить, что в младших классах целесообразно осуществлять поиск решения задач, доказательства теорем с помощью нисходящего анализа. Это связано с тем, что выводить необходимые признаки легче, чем подбирать достаточные основания для выполнения соответствующих заключений, утверждений.
Аналитико-синтетический поиск решения геометрических задач позволяет, как и в случае других типов задач, получить механизм выявления их структуры (внутренней структуры) как сложных объектов.
Для выявления структуры рассмотренной выше задачи построим ориентированный граф поиска ее решения с помощью восходящего анализа. Используя выполненный ранее анализ, получаем граф-схему.
Полученная граф-схема представляет собой модель поиска решения задачи, где для каждой вершины определено то или иное отношение. Возникает вопрос: какие вершины графа поиска решения задачи определяют элементы задачи, входящие в ее структуру? Можно утверждать, что эту роль выполняют те вершины графа, на которых выполняется основное отношение, реализованное в задаче.
Выявим прежде всего основное отношение, реализованное в задаче. Оно, как отмечалось ранее, определяется функциональной зависимостью между данными и неизвестными величинами, имеющими место в задаче.
В данной задаче такую зависимость выражает отношение подобия, которому соответствует свойство пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников.
В поиске решения задачи равенство
(1)
является следствием указанного свойства. Величина АВ в задаче имеет фиксированное значение (АВ = 5), поэтому ее можно рассматривать как коэффициент пропорциональности k. Отношение неизвестных величин ВЕ и ВД обозначим через х, т.е. ВЕ / ВД = х, а искомую величину ОВ - через у. Тогда равенство (1) примет вид у = kх. Это и есть основное отношение, реализованное в задаче, которое имеет вид ав = с. В равенствах ВЕ = АВ (2) и АД = АС (4) коэффициент не является константой, так как он выражает лишь одно из значений величин соответственно ВЕ и АД, не зафиксированное в задаче. По?/p>