Геометрия и искусство
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ьную точку р (рис. 1). Тогда существует одна и только одна точка р на прямой l, находящаяся на таком же расстоянии от плоскости Е, что и точка р, но по другую сторону от этой плоскости. Точка р совпадает с точкой р только в том случае, если она принадлежит плоскости Е.
Отражение от плоскости Е является отображением S: р>р пространства на себя, переводящим произвольную точку р в ее зеркальный образ р относительно Е. Отображение определено, если установлено правило, по которому каждой точке р ставится в соответствие ее образ
Из всех древних народов строгая зеркальная, или геральдическа, симметрия была, по-видимому, особенно излюблена шумерами. В этом отношении типичным является рисунок на известной серебряной вазе царя Энтемены, правившего в городе Лагаше около 2700 г. до н. э.; на рисунке изображен орел с львиной головой и распростертыми крыльями; в когтях у него с каждой стороны по оленю; на оленей в свою очередь нападают львы.
Перенесение точной симметрии, присущей орлу, на других животных, заставляло, очевидно, удваивать изображения. Несколько позже орла стали изображать с двумя головами, смотрящими в разные стороны, и, таким образом, формальный признак симметрии полностью восторжествовал над принципом подражания природе.
Этот геральдический мотив можно затем обнаружить в Персии, в Сирии, позднее в Византии, а всякий живший до первой мировой войны помнит двуглавых орлов на гербах царской России и Австро-Венгерской монархии.
Низшие формы животных - мелкие организмы, взвешенные в воде,- имеют более или менее шарообразную форму. Для форм, живущих на дне океана, направление силы тяжести является важным фактором. Для животных, обладающих способностью самостоятельно передвигаться в воде, в воздухе или по земле, решающее влияние оказывает как сила тяжести, так и то направление (от заднего к переднему концу тела), в котором движется животное.
После установления передне-задней, спинно-брюшной, а тем самым и лево-правой осей произвольным остается лишь различие между правым и левым, и на этом этапе никаких более высоких типов симметрии, чем зеркальная, ожидать не приходится. Действие факторов филогенетической эволюции, стремящихся вызвать в организме наследственное различие между левым и правым, тормозится, вероятно, за счет тех преимуществ, которые животное извлекает из зеркально-симметричного расположения своих органов движения - ресничек или мышц и конечностей: в случае асимметричного их развития естественно получилось бы винтовое, а не прямолинейное движение. Это может нам объяснить, почему наши конечности подчиняются закону симметрии более строго, чем внутренние органы. В Пире Платона Аристофан поведал иную историю о том, как произошел переход от сферической симметрии к зеркальной. Вначале, говорит он, человек был круглым, его спина и бока образовывали круг. Чтобы смирить гордыню людей и лишить их могущества, Зевс рассек их пополам, а Аполлон повернул их лица и детородные члены. При этом Зевс пригрозил: А если они и после того окажутся дерзкими и не захотят жить смирно - я опять разрежу их надвое, чтобы они ходили на одной ноге.
Наиболее поразительным примером симметрии в неорганическом мире являются кристаллы. Газообразное и кристаллическое состояния являются двумя четко разграниченными состояниями вещества, которые физике удается сравнительно легко объяснить. Состояния, промежуточные между этими двумя крайностями,- такие как жидкое и пластичное - труднее поддаются теории.
В газообразном состоянии молекулы свободно движутся в пространстве, имея независимые случайные скорости и положения. В кристаллическом состоянии атомы колеблются около положений равновесия так, как если бы они были привязаны к ним упругими нитями. Эти положения образуют стационарную правильную конфигурацию в пространстве.
.2 Орнаментальная симметрия
Если вы свалите в кучу пушечные ядра или круглые бусинки, то они естественным образом примут расположение, представляющее собой трехмерный аналог шестиугольной конфигурации. В случае двух измерений задача состоит в том, чтобы уложить на плоскости по возможности плотно равные круги. Начнем с горизонтального ряда из кругов, касающихся друг друга. Если вы сбросили сверху еще один круг на этот ряд, то он займет место между какими-то двумя соседними кругами нижнего ряда и центры этих трех кругов составят равносторонний треугольник. Таким образом получится второй горизонтальный ряд, состоящий из кругов, лежащих между кругами первого ряда, и т. д. (рис. 49).
Между кругами останутся небольшие промежутки. Касательные к кругу в точках, где он соприкасается с шестью окружающими его кругами, образуют правильный шестиугольник, описанный вокруг этого круга, и если вы замените каждый из кругов таким шестиугольником, то получите правильную конфигурацию из шестиугольников, заполняющую всю плоскость.
В соответствии с законами капиллярности мыльная пленка, обтягивающая данный контур из тонкой проволоки, принимает форму минимальной поверхности, т. е. поверхности с площадью, меньшей площади любой другой поверхности, ограниченной тем же контуром.
Мыльный пузырь, если вдуть в него некоторое количество воздуха, примет сферическую форму, так как сфера ограничивает данный объем при минимуме поверхности. Поэтому уже не кажется удивительным то, что пена, состоящая из двумерных пузырьков равной площади, образует шестиугольный узор,- ведь