Геометрия и искусство
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ссии при её возрастании сходится к значению золотого сечения ?. Сходится ряд довольно быстро:
если 1:1=1, 2:1=2, 3:2=1.5, то уже 13:8=1.625,
а восемнадцатый член имеет уже шесть десятичных знаков, совпадающих со значением .
Доказательство может быть построено на главном свойстве золотого сечения, которое называется аддитивным: умножение ? на ? эквивалентно прибавлению единицы, возведение в куб - прибавлению единицы уже к двум ?, и т.д. Это вытекает из основного выражения 1 + 1/ ? = ?:
= ? + 1,
= ? (? + 1) = + ? = 2? + 1,
= ? (2? + 1) = 2 + ? = 3? + 2,
= ? (3? + 2) = 3+ 2? = 5? + 3 и т.д.,
т.е. = ? +, где - число ряда Фибоначчи.
Размножающиеся кролики вновь всплыли в ХХ веке, через семь столетий после доброго Леонардо. Американскому математику Натану Альтшулеру в 1917 г. удалось получить выражение для ?, где оно возникает как предел бесконечного квадратного корня:
Если мы изобразим на клетчатой бумаге изобразить единичный квадрат как соответствующий первому члену =1 ряда чисел Фибоначчи, на его нижней стороне другой такой же квадрат =1, на их общей левой стороне 1+1 квадрат 2х2, отвечающей третьему члену ряда , затем на стороне прямоугольника 2+1=3 квадрат 3x3, отвечающий четвёртому члену и т.д., то получим геометрический аналог последовательности Фибоначчи на плоскости из квадратов и прямоугольников, пропорции которых быстро становятся золотыми:
Поскольку каждый последующий золотой квадрат со стороной строится на стороне прямоугольника как сумме сторон двух предшествующих по порядку квадратов и - и осуществляя при этом поворот на четверть окружности (?/2) - то ими отмечены четыре (а также восемь) направлений на плоскости. При том заметим, что каждый квадрат (кроме первых четырёх) соприкасается с шестью другими (3+1+1+1), сам являясь седьмым. Это даёт нам параллель шести основным интервалам диатонической гаммы и шести её ступеням с седьмой (единичной) ступенью, а также паттерну тетрактиды (1:2:3:4), образующему фрактальное множество пифагорейских гармонических чисел на промежутке октавы.
3.Симметрия
Симметрия является эквивалентом уравновешенности и гармонии и используется во многих областях науки и искусства. Принципы симметрии являются инструментом для нахождения новых законов природы. Например, распространение электромагнитных волн симметрично во взаимоперпендикулярных плоскостях. Структура молекулы также имеет симметричное строение.
Молекула ДНК - это двуцепочечный высокомолекулярный полимер, мономером которого являются нуклеотиды. Молекулы ДНК имеют структуру двойной спирали, которая построена по принципу комплементарности. А, исследуя симметрии биоструктур на молекулярном и надмолекулярном уровнях, можно заранее определить возможные варианты симметрии в биообъектах, четко описать внешнюю форму и внутреннее строение любых организмов.
Симметрия конуса свойственна растениям. Например, цветок считается симметричным, если каждый околоцветник состоит из равного числа частей. Цветки, имеющие парные части, считаются цветками с двойной симметрией.
Симметрия у животных означает соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, которые находятся на противоположных сторонах разделяющей линии.
По принципу двусторонней симметрии построено тело человека. Мозг человека разделен на две половины - два полушария, плотно прилегающие друг к другу, и каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого, Однако, физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Очень немногие люди одинаково владеют обеими руками. Например, женщины более склонны к леворукости, чем мужчины. У женщин хорошо развита интуиция, за которую отвечает правое полушарие, но слабее пространственная функция, логика, воля, самоконтроль. Среди мужчин имеется много композиторов, художников, что говорит о развитии левого полушария.
Идеи симметрии часто встречаются в живописи, скульптуре, музыке и поэзии. Зачастую именно язык симметрии оказывается особенно пригодным для обсуждения произведений искусства, даже если последние отличаются отклонениями от симметрии или их создатели стремились умышленно ее избежать.
3.1 Зеркальная симметрия
Красота тесно связана с симметрией. Об этом говорит, например, в своей книге о пропорциях Поликлет - ваятель, скульптуры которого служили предметом восхищения древних за их гармоническое совершенство, и Дюрер следует за ним при установлении канона пропорций человеческого тела. В этом смысле идея симметрии никоим образом не ограничивается пространственными объектами; ее синоним гармония в гораздо большей степени указывает на акустические и музыкальные приложения идеи симметрии, чем на геометрические. Образ весов является естественным связующим звеном, которое подводит нас ко второму смыслу, в котором слово симметрия употребляется в наше время: зеркальная симметрия, симметрия левого и правого, столь заметная в строении высших животных и, в особенности, человеческого тела. Здесь зеркальная симметрия - строго геометрическое и, в отличие от рассматривавшегося до сих пор расплывчатого представления о симметрии, вполне точное понятие. Тело (пространственный образ) симметрично относительно данной плоскости Е, если оно переходит в себя при отражении от плоскости Е. Возьмем какую-нибудь прямую l, перпендикулярную плоскости Е, и на этой прямой - произвол