Геометрия и искусство
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?ии чисел и послужила в прошлом стимулом для многих алгебраических исследований, а внешняя простота, ярко выраженная симметричность, безукоризненная стройность решения побудили исследователей математического творчества назвать эту задачу настоящим произведением искусства и математической поэмой.
По мнению В.Г. Болтянского [4, с.41], красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданности ее появления. Это утверждение можно подкрепить формулой математической эстетики из его статьи [4]: красота = наглядность + неожиданность = изоморфизм + простота + неожиданность (изоморфизм предполагает правильные, неискаженные отражения основных свойств явления в его наглядном представлении). Мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта или чем проще его наглядная модель.
Наиболее четкая привлекательность математического объекта была дана Г. Биркгофом: , где М - мера красоты, О - мера порядка, а С - мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта [5]. Очевидно, что в случае затраты минимума усилий (а это возможно, когда восприятие объекта укладывается в обобщенный его образ), мера красоты возрастает прямо пропорционально росту меры порядка. Отсюда следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями с его стороны. Эстетическая мера будет увеличиваться с упорядочиванием структуры объекта, что осуществляется в процессе его преобразования. Сказанное объясняет привлекательность симметричных объектов. Симметрия, являясь самой впечатляющей формой порядка, понимается как гармония отдельных составляющих системы математических знаний. Носителями симметрии являются многие арифметические и алгебраические конструкции и структуры: теория пропорций, различные числовые структуры, множество подстановок корней уравнения, симметрические многочлены и т.д. Содержание симметрии постоянно расширяется и обогащается. Примером может служить создание компьютерных образов на основе фрактальной геометрии.
На важность меры порядка в проявлении эстетического чувства обращают внимание многие математики. Так, А. Пуанкаре видит математические характеристики, которым приписываются свойства красоты и изящества, в элементах, гармонически расположенных таким образом, что ум без усилий может их охватить целиком, угадывая детали. Эта гармония служит одновременно удовлетворением наших эстетических чувств и помощью для ума, она его поддерживает и ею он руководит [6, с.23]. По мнению этого ученого, именно симметрия, понимаемая как гармония отдельных составляющих системы математических знаний, их счастливое равновесие, вносит в эту систему порядок, сообщая ее компонентам внутреннее содержательное единство. Таким образом, эстетическим потенциалом, основанным на идее симметрии, обладает большой объем даже школьного учебного материала, который должен быть использован при разработке методики обучения математики.
В содержании понятия простота некоторые исследователи выделяют такие признаки, как немногочисленность и общность исходных гипотез, возможность актуализации привычных образных представлений, а также наиболее прямой и естественный ход обоснования гипотез. Ряд математиков утверждают, что простота как эстетическое качество предполагает наличие в числе его характеристик неожиданности, выражающейся в контрасте между очевидностью и естественностью утверждений и трудностью их обоснования. Многие простые и общие теоремы высшей арифметики естественно возникают из простейших вычислений, однако при их доказательстве часто встречаются большие трудности. В качестве эстетической привлекательности отмечается и обратный контраст между громоздкостью, сложностью условия задачи и простым изящным ее решением.
Перечисленные характеристики красоты математического объекта соотносятся, как легко заметить, либо с внешней стороной, либо внутренней, реализующейся в его исследовании. Указанные виды красоты выполняют разные функции в математической деятельности. Первая из них реализуется созерцанием эстетически привлекательной формулировки изучаемой теоремы, задачи, рисунка. Если же рассматриваемая конструкция выглядит несовершенной, т.е., какие-либо ее элементы или она в целом не соответствуют стереотипным образам, то возникает желание ее исправить, появляется потребность в активной деятельности по гармоничному дополнению структуры математического знания. Познавательный интерес проявляется в ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на его стандартную модель, но не укладывается в нее полностью. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, поскольку он не представлен в психике, нет его стереотипного образа в голове, подчеркивает Р. Х. Шакуров [10]. Интеллектуальная красота постигается в процессе активной творческой деятельности по преобразованию объекта, выбору направления научного поиска, который, в свою очередь, осуществляется под действием эстетических факторов. Учащиеся при решении задачи чаще используют эвристики эстетического характера, ведущие либо к достраиванию рисунка до более симметричного, либо к гармонии целого и части, либо к обобщению или аналогии, либо к рассмотрению частного случая и т.д.
С повышением уровня математической подготовки школьников усиливается влияние эстетических мотивов на осуществление поисковой деятельности, расширяется круг эстетических факторо