Векторное поле и векторные линии теория поля
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
. Вычислим поток полученного вихря по определению потока.
Данная поверхность (параболоид вращения) проектируется взаимно однозначно на плоскость Oxy в круг Dxy. Находим opm нормали n к поверхности S:
.
Нормаль n образует острый угол ? с осью Oz, поэтому перед дробью следует взять знак плюс.
Таким образом
,
отсюда
,
и значит
.
Находим скалярное произведение
Искомый поток равен
.
Область интегрирования Dxy есть круг с центром в начале координат радиуса R=1. Вводя полярные координаты , будем иметь
.
Способ 2.
Поток ротора поля векторов A(P)=yi+zj+xk можно вычислить с помощью теоремы Стокса
.
.
Линия L - есть окружность x2+y2=1, полученная в результате пересечения параболоида вращения z=2 (1-x2-y2) с плоскостью Oxy z=0. Найдем параметрические уравнения этой линии
.
Следовательно,
.
3.2 Уравнение непрерывности
Задача. вывести основное уравнение движения жидкости - уравнение непрерывности.
Решение.
Пусть - поле скоростей движущегося потока жидкости. Предположим, что в данной области нет ни источников, ни стоков, то есть жидкость не появляется и не исчезает. Будем считать жидкость сжимаемой, что означает, что её плотность зависит не только от точки, но и от времени. Обозначим плотность через ? (x, y, z, t). выясним, как связана скорость движения жидкости с изменением её плотности.
Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный замкнутой поверхностью ?. Подсчитаем изменение количества жидкости Q, находящейся в объеме V в единицу времени. С одной стороны, количество жидкости, вытекающей из данного объема, равно потоку вектора через поверхность ? и вычисляется по формуле
.
С другой стороны, если за единицу времени плотность изменилась на величину , то масса элементарного объема dV изменится на . А масса всего объема V изменится на . Таким образом, .
Знак - берем, считая, что, если жидкость вытекает, то её количество внутри V уменьшается. Приравниваем полученные выражения: .
По формуле Остроградского преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему.
Имеем .
Поскольку объем был выбран произвольно, то из последней формулы получаем:
Окончательно имеем:
Раскрыв выражение уравнение можно написать в виде: .
Полученное уравнение называют уравнением непрерывности.
3.3 Уравнения Максвелла
Задача. Вывести уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
Решение.
Для электромагнитного поля Е и Н - векторы электрической и магнитной сил; r - вектор полного тока; D - вектор электрического смещения; В-вектор магнитной индукции.
Два основных закона электродинамики, являющихся обобщением законов Био-Савара и Фарадея, могут быть записаны в виде
(1)
(2)
где с - скорость света в пустоте.
Первое уравнение связывает циркуляцию вектора магнитной силы вдоль контура некоторой поверхности с потоком вектора полного тока через эту поверхность.
Второе уравнение связывает циркуляцию вектора электрической силы с производной по времени от потока магнитной индукции через поверхность. В написанных уравнениях l - произвольный замкнутый контур, S - поверхность им ограниченная. Кроме того, в покоящейся однородной среде векторы D и B связаны с векторами E и H:
где ? - диэлектрическая постоянная, ? - магнитная проницаемость среды. Вектор полного тока состоит из двух слагаемых - тока проводимости и тока смещения:
,
где - коэффициент проводимости среды. Таким образом, окончательно уравнения (1) и (2) принимают вид
(3)
(4)
По теореме Стокса
,
тогда уравнения примут вид:
.
Ввиду произвольности поверхности S, а следовательно и направления нормали n, из последних уравнений вытекает
(5)
(6).
Уравнения (5) и (6) представляют собою уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
Заключение
В ходе дипломной работы была проанализирована и обобщена литература по основам теории поля. В первой главе дано описание скалярных и векторных полей, введены понятия градиента, дивергенции, циркуляции, потока и ротора. Во второй главе рассмотрены различные виды полей и их свойства. В третьей главе были выведены уравнения Максвелла, являющиеся основными законами электродинамики и уравнение движения жидкости (уравнение непрерывности).
По результатам дипломной работы можно сделать вывод, что с помощью векторного анализа можно описать поведение любого поля, в любой точке пространства пользуясь рядом характеристик, таких как градиент, дивергенция, циркуляция, поток, ротор.
Данную дипломную работу можно использовать как методическое пособие для студентов технических ВУЗов при ознакомлении с теорией поля и при выводе формул прикладной физики. В дальнейшем дипломную работу можно было развить в сторону вывода уравнений, используемых в теоретической физике для описания процессов, происходящих в различных средах. Основными из них являются уравнение теплопроводности, уравнения распространения звука и уравнения гидродинамики идеальной жидкости.
Список литературы
1. Барман П.Н. Сборник задач по курсу математиче