Векторное поле и векторные линии теория поля
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
тым или соленоидальным.
Поясним смысл этого названия. Возьмем в этом поле какую-нибудь площадку S0 и проведем через каждую точку её границы векторные линии. Эти линии ограничивают часть пространства, называемую векторной трубкой (рис. 2.1.)
Рис. 2.1. Векторная трубка
Жидкость при своем течении все время движется по такой трубке, не пересекая её стенок. Рассмотрим часть такой трубки, ограниченную площадкой S0 и каким-нибудь сечением S1. Так как по условию div A(P)=0, то поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Следовательно,
где S - боковая поверхность трубки, а n - внешняя нормаль. Так как на боковой поверхности трубки нормали n перпендикулярны к векторам поля, то Отсюда следует, что .
Переменив направление нормали на площадке S0, то есть взяв внутреннюю нормаль n', получим .
Это значит, что поток вектора в направлении векторных линий через каждое сечение векторной трубки один и тот же, то есть в поле без источников через каждое сечение векторной трубки проникает одно и тоже количество жидкости.
div rotA(P)=0, то есть поле ротора любого векторного поля - трубчатое.
Справедливо и обратное утверждение.
Каждое трубчатое поле является полем ротора некоторого векторного поля, то есть если divA(P)=0, то существует такое векторное поле B(P), что A(P)=rotB(P).
Вектор B(P) называют вектором-потенциалом данного поля.
2.1.2 Потенциальное (безвихревое) поле
Если во всех точках поля ротор равен нулю, то поле называется безвихревым или потенциальным. Из равенства rotA(P)=0 вытекает, что
Эти равенства представляют условие того, что выражение
Axdx+Aydy+Azdz
является полным дифференциалом некоторой функции u (x, y, z).
При этом
Это значит, что вектор А(Р) потенциального поля является градиентом скалярного поля: A(P)=grad u.
Функция u называется потенциальной функцией векторного поля или, коротко, потенциалом. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Из формулы rot grad u=0 следует обратное утверждение:
Поле градиента любой функции u (x, y, z) является потенциальным, а сама функция u - его потенциалом.
В потенциальном поле циркуляция по любому контуру равна нулю. При этом предполагается, что контур L можно заключить односвязную область, во всех точках которой функции Ax, Ay, Az и их производные непрерывны. С точки зрения течения жидкости равенство нулю циркуляции означает, что в потоке нет замкнутых струек жидкости, то есть нет водоворотов.
Работа в силовом потенциальном поле равна разности потенциалов в конечной и начальной точках линии L, то есть
Изучение потенциального поля значительно облегчается тем, что это поле вполне определяется заданием одной скалярной функции - его потенциала. Проекции векторного поля А(Р) будут при этом частными производными этой функции по соответствующим координатам. Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций - проекций вектора на оси координат.
2.1.3 Гармоническое поле
Векторное поле, являющееся одновременно и потенциальным и трубчатым, называется гармоническим. Поскольку поле потенциально, его можно записать в виде
A(P)=grad u,
где u - потенциал поля. Условие трубчатости поля означает, что
div A(P)=div grad u=0.
Согласно формуле, что
Функции u, подчиняющиеся этому условию, называются гармоническими.
2.2 Электромагнитное поле
Одним из важнейших приложений введенных нами понятий векторного анализа является изучение электромагнитных полей. Мы рассмотрим несколько простых примеров.
.2.1 Электрическое поле
Пусть Е - поле напряженности точечного заряда q, помещенного в начало координат. Напряженность поля в точке P (x, y, z) равна
,
где - расстояние от точки Р до начала координат. Векторными линиями такого поля служат лучи, выходящие из начала координат, то есть из заряда.
Поле напряженности Е является полем потенциальным. Обычно за потенциал ? поля Е берут функцию , взятую с противоположным знаком: .
Таким образом, разность потенциалов между двумя точками поля равна взятой с противоположным знаком работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из одной точки во вторую. Легко проверить, что .
Это значит также, что rot E = - rot grad ? = 0.
Найдем дивергенцию поля напряженности. Имеем
, , .
Отсюда
.
Следовательно,
Поток вектора Е через любую замкнутую поверхность, не содержащую внутри себя начала координат, равен нулю.
Если же начало координат, то есть заряд, содержится внутри поверхности, то такого вывода сделать уже нельзя, так как в начале координат поле не определено.
Вычислим поток вектора Е через сферу радиуса R с центром в начале координат. На поверхности этой сферы направление вектора Е совпадает с направлением нормали, то есть радиуса вектора. Поэтому
.
Отсюда поток К равен
.
Мы видим, что величина потока не зависит от радиуса сферы R. Легко показать, что величина потока остается неизменной для любой замкнутой поверхности, окружающей начало координат.
Рис. 2.2. Произвольная поверхность с помещенной в неё сферой