Векторное поле и векторные линии теория поля

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

(1)

 

Система уравнений (1) представляет собой систему дифференциальных уравнений семейства векторных линий поля А(Р).

Если поле плоское, то есть Az=0, то векторные линии лежат в плоскостях, параллельных плоскости Oxy, и их уравнения имеют вид

 

 

1.2.2 Поток вектора. Дивергенция

1. Поток вектора.

Пусть векторное поле образовано вектором А(Р)=Axi+Ayj+Azk.

Возьмем в этом поле некоторую поверхность S и выберем на ней определенную сторону. Обозначим через n единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности в произвольной её точке; проекциями вектора служат направляющие косинусы нормали n {cos?, cos?, cos?}. Рассмотрим интеграл по поверхности S от скалярного произведения вектора поля А(Р) на единичный вектор нормали n:

 

(*)

Если А(Р) - поле скоростей текущей жидкости, то интеграл (*) выражает поток жидкости через поверхность S. В произвольном векторном поле интеграл (*) будем называть потоком вектора через поверхность S и обозначать буквой К.

Определение. Потоком вектора через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности:

 

 

Таким образом, вычисление потока вектора сводится к вычислению интеграла по поверхности. Из самого определения следует, что поток вектора К - величина скалярная. Если изменить направление нормали n на противоположное, то есть переменить сторону поверхности S, то поток К изменит знак. Так как скалярное произведение вектора А(Р) на единичный вектор нормали n равно Аn(Р) - проекции вектора А(Р) на направление n, то поток К можно представить в виде

 

 

Отсюда, в частности, следует, что если на некотором участке поверхности проекция вектора А(Р) на нормаль постоянна: Аn(Р) = А = =const, то поток через такой участок просто равен AnQ, где Q - площадь участка поверхности.

Пример. Найдем поток радиуса-вектора r через боковую поверхность (S1), верхнее основание (S2) и нижнее основание (S3) прямого цилиндра радиуса R и высоты H, если начало координат лежит в центре нижнего основания цилиндра, а ось цилиндра совпадает с осью Oz (рис. 1.7.).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.7. Поток радиуса-вектора прямого цилиндра

 

На всех поверхностях n имеет направление внешней нормали. На боковой поверхности S1 внешняя нормаль n параллельна плоскости Oxy и проекция rn равна R. Поэтому

 

 

На верхнем основании S2 нормаль n направлена параллельно оси Oz и rn=H. Следовательно,

 

 

Наконец, на нижнем основании S3 проекция rn=0 и K3=0.

Особый интерес представляет случай, когда S - замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую область ?. Если берется внешняя нормаль, то мы будем говорить о потоке изнутри поверхности S. Он обозначается так:

 

Когда векторное поле А(Р) представляет поле скоростей жидкости, величина потока К дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области ?, и количеством жидкости втекающей в эту область.

Если К=0, то в область ? втекает столько же, сколько и вытекает. Так, например, будет для любой области, расположенной в потоке воды, текущей в реке.

Если же величина К отлична от нуля, например, положительна, то из области ? жидкости вытекает больше, чем втекает. Наоборот, если величина К отрицательна, то это указывает на наличие стоков-мест, где жидкость удаляется из потока.

2. Дивергенция.

Рассмотрим некоторую точку Р векторного поля А(Р) и окружим её замкнутой поверхностью S, целиком содержащейся в поле. Вычислим поток вектора через поверхность S и возьмем отношение этого потока к объему V области ?, ограниченной поверхностью S:

 

 

В поле скоростей жидкости это отношение определяет количество жидкости, возникающее в единицу времени в области ?, отнесенное к единице объема, то есть как говорят, среднюю объемную мощность источника; если поток изнутри поверхности S меньше нуля, то соответственно говорят о мощности стока.

Найдем теперь предел отношения

 

при условии, что область ? стягивается в точку Р, то есть что V стремится к нулю.

Если этот предел положителен, то точка Р называется источником, а если отрицателен, то стоком. Сама величина предела характеризует мощность источника или стока. В первом случае в любом бесконечно малом объеме, окружающем точку Р, жидкость возникает, а во втором случае исчезает. Предел этот называется дивергенцией или расходимостью векторного поля в точке Р.

Определение. Дивергенцией, или расходимостью, векторного поля А(Р) в точке Р называется предел отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку Р, к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Р. Дивергенцию поля обозначают символом divA(P).

Таким образом,

 

 

где предел вычисляется при условии, что поверхность S стягивается в точке Р.

Докажем, что при условии непрерывности функций Ax, Ay, Az и их производных дивергенция поля существует в любой его точке.

Теорема. Дивергенция векторного поля divA(P)=Axi+Ayj+Azk

выражается формулой

 

 

где значение частных производных берутся в точке Р.

Доказательство. По формуле Остроградского поток вектора К можно представить в виде

 

 

Тройной интеграл по теореме о среднем равен произведению объема V на значение подынтегральной функции в некоторой точке P1 области ?, то есть

 

<