Векторное поле и векторные линии теория поля
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Ox, Oy, Oz (рис. 1.1.)
Рис. 1.1. Направление луча, относительно осей координат
Если e? - единичный вектор, направленный по лучу ?, то его проекциями будут направляющие косинусы e? {cos ?, cos ?, cos ?}.
Пусть точка P1(x1, y1, z1) лежит на луче ?; расстояние PP1 обозначим через ?. Проекции вектора на оси координат будут, с одной стороны, равны ? cos ?, ? cos ?, ? cos ?, а с другой стороны, - разностям x1-x, y1-y и z1-z. Следовательно , , .
Рассмотрим теперь приращение функции при переходе из точки Р в точку Р1: .
если точка Р1 будет изменять свое положение на луче ?, то в выражении для разности u(P1) - u(P) будет меняться только величина ?. Составим отношение и перейдем к пределу при ?>0, предполагая, что этот предел существует.
Определение. Предел
называется производной от функции u (x, y, z) по направлению ? в точке Р.
Этот предел будем обозначать символом или . Величина его зависит от выбранной точки P (x, y, z) и от направления луча ?, то есть от ?, ?, ?.
Если точка Р фиксирована, то величина производной будет зависеть только от направления луча ?.
Из определения производной по направлению следует, что если направление ? совпадает с положительным направлением оси Ox, то есть , то предел будет просто равен частной производной от функции u (x, y, z) по x:
.
Аналогичную картину получим, если направление ? будет совпадать с направлениями осей Oy и Oz.
Подобно тому как частные производные и характеризуют скорость изменения функции u в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции u (x, y, z) в точке Р по направлению луча ?. Абсолютная величина производной по направлению ? определяет величину скорости, а знак производной - характер изменения функции u (возрастание или убывание).
Вычисление производной по направлению производится при помощи следующей теоремы:
Теорема. Если функция u (x, y, z) дифференцируема, то её производная по любому направлению ? существует и равна
где - направляющие косинусы луча ?.
Из этой формулы непосредственно следует, что если направление ? совпадает с положительным направлением одной из осей координат, то производная по этому направлению равна соответствующей частной производной, например, если то .
Из формулы видно, что производная по направлению ?', противоположному ?, равна производной по направлению ?, взятой с противоположным знаком. Действительно, при перемене направления углы ?, ? и ? изменятся на ? и
Это означает, что при перемене направления на противоположное абсолютная величина скорости изменения функции u не меняется, а изменяется только характер её изменения; если, например, в направлении ? функция возрастает, то в направлении ?' она убывает, и наоборот.
Если поле плоское, то направление луча ? вполне определяется углом ? его наклона к оси абсцисс. Формулу для производной по направлению в случае плоского поля можно получить из общей формулы, положив . Тогда .
Если ?=0, то , а если , то .
1.1.3 Градиент
Рассмотрим снова формулу для производной по направлению
Вторые множители в каждом слагаемом являются, как мы уже отмечали, проекциями единичного вектора е?, направленного по лучу ?:
Возьмем теперь вектор, проекциями которого на оси координат будут служить значения частных производных в выбранной точке P (x, y, z). Назовем этот вектор градиентом функции u (x, y, z) и будем обозначать его символами grad u или ?u.
Определение. Градиентом функции u (x, y, z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, то есть
Проекции градиента зависят от выбора точки P (x, y, z) и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией поля u (x, y, z), соответствует определенный вектор - градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции u=ax+by+cz+d есть постоянный вектор: grad u=ai+bj+ck.
Пользуясь определением градиента, формуле для производной по направлению можно придать такой вид:
Следовательно:
Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления.
Так скалярное произведение равно модулю одного вектора, умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что:
Производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, то есть
где ? - угол между вектором grad u и лучом ? (рис. 1.2.). Отсюда сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда , то есть при . Это наибольшее значение равно |grad u|.
Рис. 1.2. Проекция градиента на направление дифференцирования
Итак, |grad u| есть наибольшее возможное значение производной в данной точке Р, а направление grad u совпадает с направлением луча, выходящего из точки Р, то есть направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. Ясно, что в противоположном направлении функция u будет быстрее всего убывать.
Теорема. Направление градиента функции u (x, y, z) в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через эту точку (рис. 1.3).
&nbs