Векторное поле и векторные линии теория поля
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Так как часть конуса, заключенная между участком сферы и данной поверхностью, является векторной трубкой, а дивергенция поля равна нулю, то потоки через участки сферы и поверхности равны между собой. Складывая потоки через все такие участки поверхности, получаем, что поток вектора Е через любую поверхность, окружающую начало координат равен потоку через сферу, то есть 4?q. Будем считать, что внутренняя сфера имеет радиус, равный единице. Тогда поток через участок поверхности S1 (рис.) будет равен q?, где ? - площадь поверхности сферы единичного радиуса, в которую проецируется участок поверхности. Величину ? называют телесным углом, под которым поверхность S1 видна из начала координат.
Пусть теперь поле создано системой электрических зарядов . Обозначим через Ei напряженность поля, создаваемого зарядом qi, а через Е - результирующую напряженность.
Тогда
.
Проекция вектора Е на направление нормали n к любой поверхности равна
.
Стало быть, поток через поверхность равен
,
причем последняя сумма распространена только на те заряды qi, которые лежат внутри рассматриваемой поверхности. Эта формула, играющая важную роль в изучении электрических полей, называется электростатической теоремой Гаусса.
Пусть мы имеем дело с непрерывным распределением заряда. Обозначим через ? плотность распределения заряда. Если плотность заряда непостоянна, то ? является функцией точки поля Р, то есть её координат. Суммарный заряд в данном объеме ? будет равен .
Применив к этому заряду теорему Гаусса, получим
,
где S - граница области ?.
Преобразуем первый интеграл, вводя div E:
.
Отсюда
.
Поскольку интеграл равен нулю для любой области интегрирования ?, то получим .
Примем без доказательства, что свойство электрического поля быть потенциальным сохраняется при непрерывном распределении зарядов.
Обозначим его потенциал через ?; тогда Е=-grad ?. Тогда
div E=-div grad ?=-??.
Из вышеприведенных равенств получим
.
Полученное уравнение называется уравнением Пуассона. В трех точках поля, где плотность заряда ? равна нулю, оно превращается в уравнение Лапласа: ??=0.
2.2.2 Магнитное поле прямолинейного тока
Пусть магнитное поле создано постоянным током I, текущим по бесконечному прямолинейному проводнику. Найдем вектор напряженности магнитного поля, создаваемого этим током. Согласно закона Био-Савара элемент тока создает в данной точке напряженность магнитного поля, равную по величине , где I - ток, dS - элемент длины проводника, r - расстояние от элемента тока до рассматриваемой точки, ? - угол между направлением тока и прямой, соединяющей точку, в которой ищется поле, и элементом тока, k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. Вектор напряженности направлен по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку наблюдения; направление напряженности устанавливается правилом Ампера. В векторной форме закон Био-Савара записывается так:
,
где dН - вектор напряженности поля, создаваемого элементом тока, dS - вектор, направленный по проводнику, а r - вектор, проведенный из элемента тока в точку М, в которой ищется напряженность.
Обозначим переменное расстояние от элемента тока до начала координат через ?, а координаты точки М через x, y, z. Тогда
, ,
,
где - расстояние от точки М до провода. Вычисляя векторное произведение, находим dH:
.
Отсюда
,
, .
Чтобы найти Hx и Hy, проинтегрируем выражение для их дифференциалов в пределах от - ? до ?. Для этого вычислим несобственный интеграл
.
Подстановка , приводит к интегралу
.
Поэтому
, , .
В точках оси Oz поле не определено. Таким образом, вектор напряженности Н имеет то же направление, что и вектор линейной скорости при вращении тела вокруг оси Oz, если направление тока совпадает с направлением вектора угловой скорости. Модуль вектора Н равен
.
Легко проверить, что дивергенция поля равна нулю. Имеем
, , .
Следовательно, .
Ротор этого поля также во всех точках равен нулю. Для этого надо только проверить равенство .
Следовательно, циркуляция поля по любому контуру, не окружающему ось Oz, равна нулю. Если же контур окружает ось Oz (рис. 2.5.), то такого вывода сделать нельзя, поскольку такой контур невозможно заключить в односвязную область, не содержащую точек оси Oz, в которых поле не определено.
Вычислим циркуляцию по окружности радиуса R, лежащей в плоскости Oxy, с центром в начале координат
x=R cos t, y=R sin t.
Тогда
.
Рис. 2.5. Положение контура относительно осей координат
Величина циркуляции не зависит от радиуса окружности R. Можно доказать, что она остается одной и той же для любого контура, окружающего ось Oz.
3. Применение теории поля в некоторых инженерных задачах
поле векторный инженерный дифференциальный
3.1 Вычисление потока вихря векторного поля
Задача. Вычислить поток вихря поля векторов A(P)=yi+zj+xk через поверхность параболоида вращения z=2 (1-x2-y2), отсеченную плоскостью z=0.
Решение.
Способ 1.
. Вычислим вихрь векторного поля A(P)=yi+zj+xk по формуле:
.x=yAy=zAz=xA(P)=(0-1) i+(0-1) j+(0-1) k=-i-j-k