Векторное поле и векторные линии теория поля
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?нтура L вполне определено: именно обход осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали. Чтобы вычислить указанный предел, преобразуем выражение для циркуляции, воспользовавшись формулой Стокса:
где cos?, cos?, cos? - направляющие косинусы нормали n, а D - область ограниченная контуром L. Последний интеграл по теореме о среднем равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке Р1 области D на величину S площади этой области.
При стягивании контура L в точку Р значение подынтегральной функции будет стремиться к её значению в точке Р. Поэтому
где значение всех частных производных берутся в точке Р. Правая часть равенства представляет собой как бы скалярное произведение двух векторов: единичного вектора n {cos?, cos?, cos?} - нормали к плоскости, в которой лежит контур L, и вектора, проекции которого равны
Последний вектор называется ротором или вихрем векторного поля и обозначается rotA(P).
. Ротор и его свойства.
Определение. Ротором векторного поля A(P)=Axi+Ayj+Azk называется вектор
Проекция rotnA(P) этого вектора на любое направление дает предел отношения циркуляции вектора поля по контуру, лежащему в плоскости, проходящей через точку Р, для которой вектор n является нормалью, к площади, ограниченной этим контуром. Этот предел будет наибольшим в том случае, когда направление нормали n совпадает с направлением rotA(P).
С помощью определения ротора теорему Стокса можно сформулировать в векторной форме:
Поток ротора поля через поверхность S равен циркуляции вектора по границе этой поверхности.
Направление интегрирования по контуру L и направление нормали n к поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса. Отсюда следует, что если две поверхности S имеют одну и ту же границу L, то потоки ротора через эти поверхности равны между собой.
Свойства.
- rot [C1A1(P)+C2A2(P)]=C1 rotA1(P)+C2 rotA2(P),
где С1 и С2 - скалярные постоянные.
- Если u(P) - скалярная функция, а А(Р) - векторная, то
1.3 Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка
Основные понятия векторного анализа: градиент, дивергенция, ротор - удобно представлять с помощью символического вектора ? (набла-вектор)
Правила действия с этим вектором:
. Произведение набла-вектора ? на скалярную функцию u(P) дает градиент этой функции:
. Скалярное произведение набла-вектора ? на векторную функцию А(Р) дает дивергенцию этой функции:
. Векторное произведение набла-вектора ? на векторную функцию А(Р) дает ротор этой функции:
Таким образом действия с набла-вектором производятся по обычным правилам действий векторной алгебры, а затем умножением, скажем д/дx на скалярную функцию заменяется производной этой функции по x. Набла-вектор называют ещё оператором Гамильтона.
Действия взятия градиента, дивергенции, ротора будут векторными дифференциальными операциями первого порядка. В них участвуют только первые производные от скалярных функций.
Векторные дифференциальные операции второго порядка.
Пусть имеется скалярное поле u(P) и мы нашли градиент этого поля grad u. Поле градиента является векторным полем, и мы можем искать его дивергенцию и ротор: div grad u и rot grad u.
Если имеется векторное поле A(P)=Axi+Ayj+Azk, то оно порождает два поля: скалярное поле divA(P) и векторное поле rotA(P). Следовательно мы можем находить градиент первого поля: grad divA(P), дивергенцию и ротор второго поля: div rotA(P) и rot rotA(P). Всего мы имеем пять векторных дифференциальных операций второго порядка. Особенно важными являются три из них, которые рассмотрим подробнее.
а)
Действительно, Образуя дивергенцию этого вектора, мы получаем написанное равенство. Правая часть его называется оператором Лапласа от функции u и обозначается ?u
Выражение div grad u можно с помощью набла-вектора записать ещё и так: div grad u=? (?u)= ?2u
Это обозначение оператора Лапласа тоже часто употребляется.
б) rot grad u=0
Соотношение это проверяется совсем просто. Каждая скобка в выражении для ротора представляет в этом случае разность вторых смешанных производных функции и, отличающихся лишь порядком дифференцирования, например:
С помощью набла-вектора это соотношение записывается так:
rot grad u= ?x (?u)=(?x ?) u=0
так как векторное произведение одинаковых векторов равно нулю.
в) div rot A(P)=0
Образуя дивергенцию от rot A(P), получим
что в силу равенства вторых смешанных производных равно нулю.
Если записать доказываемое соотношение с помощью набла-вектора;
div rot A(P)=? (?xA),
то получим смешанное произведение трех векторов, из которых два вектора одинаковы. Но такое произведение равно нулю.
г) rot rot A(P)=grad div A(P) - ?A(P),
где ?A(P)=?Axi+?Ayj+?Azk (? - оператор Лапласа).
2. Виды векторных полей
2.1 Простейшие векторные поля
Простейшими векторными полями являются такие поля, для которых либо divA(P)=0, либо rotA(P)=0, либо, наконец, равны нулю и дивергенция и ротор.
2.1.1 Трубчатое (соленоидальное) поле
Определение. Векторное поле, для всех точек которого дивергенция равна нулю, называется трубча