Устойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмуще...
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ор функция
определена и непрерывна в области
,
где или ;
2) каждая из функций не убывает по ;
3) .
Обозначим и рассмотрим вспомогательную систему
, (2.1.3.3)
если при условии решение () системы (2.1.3.3) - устойчиво (равномерно - устойчиво) при п.д.в., малых в каждый момент времени, в среднем или интегрально, то движение системы (2.1.1.1) у- устойчиво (равномерно у-устойчиво) при п.д.в., малых (соответственно) в каждый момент времени, в среднем или интегрально.
2.2 Устойчивость движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем (2 случай)
Рассмотрим уравнения
, (2.2.1)
где , , , , ,
, - вектор - функции, характеризующие постоянно действующие возмущения, которые не обращаются в нуль при , . Функции , непрерывные в области
, , (2.2.2)
и удовлетворяющие условию, что уравнения (2.2.1) имеют при заданных начальных условиях единственное решение. Здесь обозначает евклидову норму вектора. Наряду с евклидовой нормой рассмотрим эквивалентную ей норму: если -мерный вектор, то . В дальнейшем -мерный вектор будем обозначать буквой . Обозначим решение системы (2.2.1), удовлетворяющее начальному условию ; - его -компонента.
Определение 2.2.1 (Игнатьев А.О.[13]). Невозмущенное движение (тривиальное решение уравнений (1)) назовем устойчивым при п.д.в. по отношению к , если для каждого положительного (как бы мало оно ни было) существуют два других положительных числа и , таких, что всякое решение уравнений (2.2.1) с начальными значениями , , для которых при произвольных в области , удовлетворяет при всех неравенству .
В этом определении предполагается, что постоянно действующие возмущения и соответствующие им функции и малы при всех значениях . Однако, как указано в [10, 15], интересны случаи, когда функции, характеризующие п.д.в., не будут малыми при всех , но интервалы времени, когда они не малы, будут достаточно малыми. Введем следующее определение.
Определение 2.2.2 (Игнатьев А.О.[13]). Тривиальное решение уравнений (2.2.1)(невозмущенное движение) назовем устойчивым при п.д.в., ограниченных в среднем, по отношению к , если для любой пары положительных чисел , Т можно указать два таких числа и , что при выполнении неравенства
, (2.2.3) где - какая-либо непрерывная функция, удовлетворяющая условиям
, при , (2.2.4) каждое решение с начальными данными удовлетворяет неравенству при всех .
Замечание 2.2.1 Из определений 2.2.1, 2.2.2 следует, что решение, устойчивое при п.д.в., ограниченных в среднем, относительно , будет тем более устойчивым при п.д.в. (малых) относительно . Число из определения 2.2.2 связано с числом из определения 2.2.1 соотношением .
Определение 2.2.3 [13]. Будем говорить, что решения системы (2.2.1) обладают свойством (R), если при некотором достаточно малом числе для любого найдется такое, что из , следует для всех . Это свойство означает, что соотношение
выполняется равномерно по , из области , , .
Теорема 2.2.1 [13]. Пусть в области (2.2.2) частные производные существуют, непрерывны и ограничены.
Кроме того, решения системы (2.2.3) обладают свойством (R), и выполняется тождество . Тогда невозмущенное движение устойчиво при п.д.в., ограниченных в среднем по отношению к .
Замечание 2.2.2 Устойчивость при п.д.в., ограниченных в среднем по отношению к в теореме 2.2.1, доказана при произвольном значении .
Теорема 2.2.2 [13]. Пусть при условиях теоремы 1 выполнено равенство
. (2.2.5)
Тогда наряду с устойчивостью при п.д.в., ограниченных в среднем относительно , имеет место соотношение
. (2.2.6)
Если предельное соотношение (2.2.5) выполнено равномерно относительно , то предел в равенстве (2.2.6) является равномерным по из области
, , .
2.3 Оптимальная стабилизация одной нелинейной системы при наличии постоянно действующих возмущений
Рассмотрим нелинейное управляемое уравнение при неличиии постоянно действующего возмущения
, (2.3.1)
где -фазовая координата; и -вещественные постоянные числа, причем , -постоянно действующее возмущение, , , - управляющее воздействие, ,
В качестве критерия качества выберем функционал вида
. (2.3.2)
Здесь и - скалярные функции, которые определим позднее.
Построение управления оптимально стабилизирующего множество относительно решений уравнения (2.3.1) проведем, опираясь на широко известную теорему IV Н.Н. Красовского об оптимальной стабилизации [16, 285] и метод оптимальной стабилизации линейных неоднородных управляемых систем [15, 73-83].
Функцию Ляпунова выберем в виде
. (2.3.3)
Здесь есть положительная вещественная постоянная,
Будем считать, что выполняется неравенство
. (2.3.4)
Составим выражение [19]
.
Из определения подынтегрального выражения функционала (2.3.2) следует, что при , выражение . Тогда оптимальное управление определится из условия . Исходя из этого, оптимальное управление определяется в виде
.
С учетом выражения (2.3.3)
.
Следовательно, оптимальная