Устойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмуще...

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

ичине.

Следствие 1.4.3 (Воротников В.И. [5]) . Пусть все корни уравнения (1.4.7) имеют отрицательные вещественные части, а вектор функции в системе (2) удовлетворяют соотношениям (1.4.11). Если, кроме того, выполняются равенства

, (1.4.12)

то движение системы (1.4.1) асимптотически устойчиво относительно при п.д.в. в целом по .

Замечание 1.4.3

1 В системе (1.4.9) постоянных величин, входящих в векторы , связаны уравнениями. Поскольку столбцы с номерами в матрице являются линейно независимыми, то считая заданными компоненты вектора и те компоненты из , номера которых не равны , из системы (1.4.9) можно, учитывая равенство , однозначно определить остальные компонент из .

2 Предположение о линейной независимости столбцов матрицы во второй части теоремы 1.4.1 и следствии 1.4.2 не имеет принципиального значения и сделано лишь для упрощения условий и доказательства.

3 Для асимптотической - устойчивости при п.д.в. требуется, помимо выполнения условий (1.4.9), (1.4.10), еще и малость величин . Если п.д.в. , удовлетворяющие условию (1.4.9), произвольны по величине, то невозмущенное движение системы (1.4.1) будет - притягивающих условию (1.4.9), для решений системы справедливо соотношение при .

Пример 1.4.1 Пусть уравнения возмущенного движения (1) имеют вид

(1.4.13)

В данном случае

, , ,

и все корни уравнения (2) имеют отрицательные вещественные части. Поскольку вторая строка матрицы - нулевая, то движение системы (1.4.13) устойчиво относительно при п.д.в. в целом по . Условие (9) в данном случае принимает вид

(1.4.14)

и, следовательно, нулевое решение системы (1.4.13) асимптотически устойчиво относительно в целом по при п.д.в., удовлетворяющих условиям (1.4.10) сводиться к тому, что малые постоянные возмущения , , например, равны по величине.

 

  1. Обобщение теоремы Ляпунова Малкина

 

Рассмотрим систему в виде двух групп уравнений

. (2.3.1)

Здесь матричные функции соответствующих размеров, элементы которых являются непрерывными при функциями. Нелинейные возмущения в области , непрерывны и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решений.

Обозначим решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию .

Определение 2.3.1 [32, 36]. Невозмущенное движение системы (2.3.1) равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически устойчиво, если для любых значений найдутся числа и , такие, что при для всех имеют место неравенства

.

Предположим, что выполнены условия [32]

, (2.3.2)

при .

Теорема 2.3.1 Пусть нулевое решение линейной системы

(2.3.3)

равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически устойчиво. Тогда при выполнении условий (2.3.2), этим же свойствам устойчивости обладает невозмущенное движение нелинейной системы (2.3.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Устойчивость нелинейных систем

 

2.1 Устойчивость движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем (1 случай)

 

2.1.1 Основные определения и теоремы

 

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения

, (2.1.1.1)

в которой [26] .Предположим, что:

а) правые части системы (2.1.1) в области

(2.1.1.2)

непрерывны и удовлетворяют условиям единственности решения;

б) решения системы (2.1.1.1) - продолжимы.

Наряду с системой (2.1.1.1) рассмотрим возмущенную систему

, (2.1.1.3) относительно которой предполагается выполнение условий а) и б), причем, вообще говоря, . Обозначим через решение системы (2.1.1.3), определенное начальными условиями .

Обобщая введенные в работах [9], [10], [15], [19], [20] понятия на задачу устойчивости относительно части переменных, приведем следующие определения.

Определение 2.1.1.1 (Озиранер А.С.[25]). Движение системы (2.1.1.1) называется устойчивым при п.д.в., малых в каждый момент времени (малых в среднем или малых интегрально), если для любых (соответственно , , или , ) существуют , (соответственно , или , ), такие, что всякое решение с любой системы (2.1.3), для которой в области (2.1.1.4) выполняется условие (2.1.5)

, (2.1.1.4)

, (2.1.1.5)

(соответственно (2.1.1.6) и (2.1.1.7))

при всех , (2.1.1.6)

(2.1.1.7)

при всех удовлетворяет неравенству .

Определение 2.1.1.2 (Озиранер А.С.[25]). Если в определении 2.1.1.1 для любого (для любых или для любого ) можно выбрать , (соответственно , или , ) не зависящими от , то устойчивость при п.д.в., малых в каждый момент времени (малых в среднем или малых интегрально) называется равномерной.

Если в определении 2.1.1.1 заменить неравенство условием (), то из определений 2.1.1.1 и 2.1.1.2 получаются определения устойчивости (равномерной устойчивости) при п.д.в., малых в каждый момент времени (ма?/p>