Устойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмуще...
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ной стабилизации. Найти вектор-функцию , при котором движение системы (1.1.16) асимптотически устойчиво относительно .
- Устойчивость движения твердого тела с одной неподвижной точкой
Рассмотрим движение тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой, вызванное начальными и постоянно действующими возмущениями. Уравнения возмущенного движения имеют вид
(1.2.1)
где - главные моменты инерции тела, - проекции угловой скорости тела на главные оси инерции единичного вектора, направленного вдоль неподвижной вертикальной оси, - координаты центра инерции тела в главных осях инерции, .
Будем изучать устойчивость невозмущенного движения системы (1.2.1) при ряде предположений относительно вида функций .
10. ,
т.е. система (3.1) имеет вид
(1.2.2)
Введем новую переменную . При условии или имеем следующие оценки для системы (3.2):
а) ,
в области
; (1.2.3)
б) ,
в области
. (1.2.4)
Из оценок а), б) следует, что переменная системы (3.2) будет описываться уравнением
,
поэтому при условии , движение системы (1.2.2) асимптотически - устойчиво в целом.
Если или , то из оценок а), б) вытекает - устойчивость движения.
Теорема 1.2.1 (Воротников В.И. [4]). Пусть выполняется одно из трех условий
, , . (1.2.5)
Если , , то движение системы (1.2.2) асимптотически - устойчиво в целом. Если , или , то это движение - устойчиво (неасимптотически).
20. , - кусочно-непрерывные функции , . Система (1.2.1) имеет вид
(1.2.6)
При условии или имеем оценки для системы (3.6)
,
в области (3.3), (3.4) соответственно.
Поэтому переменная системы (1.2.6) описывается уравнением
и, следовательно, выполняется неравенство
. (1.2.7)
Теорема 1.2.2 [4]. Пусть выполняется одно из трех условий (1.2.5).
Если
,
то движение системы (1.2.6) асимптотически - устойчиво в целом.
30. , где - непрерывная функция в области . Система (1.2.1) примет вид
. (1.2.8)
При условии или имеем оценки для системы (1.2.8)
, (1.2.9)
,
в области (1.2.3), (1.2.4) соответственно.
Рассмотрим систему
, (1.2.10)
являющуюся системой сравнения для (1.2.9).
Теорема 1.2.3 (Воротников В.И. [4]). Пусть выполняется одно из двух условий: или . Если
,
,
то движение системы (1.2.8) асимптотически - устойчиво в целом.
40. - непрерывные по совокупности переменных функции в области имеет вид
. (1.2.11)
При условии или имеем оценки для системы (1.2.11)
(1.2.12)
в области (1.2.3), (1.2.4) соответственно.
Допустим, что
, (1.2.13)
где - непрерывная функция в области .
Теорема 1.2.3 (Воротников В.И. [4]). Если движение системы
асимптотически устойчиво по Ляпунову в целом, то движение системы (1.2.11) асимптотически - устойчиво в целом.
50. , , .
Теорема 1.2.4 (Воротников В.И. [4]). При выполнении условий , , движение системы (1.2.1) - устойчиво.
В п.п. 10-50 - устойчивость невозмущенного движения системы (1.2.1) более общее понятие, чем определение - устойчивости в смысле В.В. Румянцева [29]. Показали, что для любого числа найдется положительное число , такое, что из
(1.2.14)
следует при всех . Второе из неравенств (1.2.14) возможно при , или при , , где - достаточно малое, а - некоторое конечное (не малое) число. Следовательно, начальные возмущения в определении - устойчивости невозмущенного движения системы (1.2.1) могут не быть достаточно малыми, как это предполагалось в [29].
- Алгебраический критерий асимптотической
- устойчивости
Сформулируем алгебраический критерий асимптотической - устойчивости движения системы (1.1.1). Допустим, что , и рассмотрим матрицы следующего вида:
а) строки матрицы размера - линейно-независимые векторы-столбцы матрицы ;
б) столбцы матрицы размера - линейно-независимые векторы-столбцы матрицы (пусть эти столбцы матрицы имеют номера );
в) строка с номером матрицы размера является строкой
с номером матрицы , а остальные строки матрицы нулевые;
г) , ,
- матрица, обратная к матрице ; - единичная матрица размера .
Теорема 1.3.1 (Воротников В.И. [4]). Для асимптотической - устойчивости движения системы (1.1) необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения
(1.3.1)
имели отрицательные вещественные части.
Замечание. Уравнение (1.3.1) является характеристическим уравнением введенной в [7] системы уравнений - вида. Поэтому в теореме 1.3.1 в отличие от результата [7] установлена прямая алгоритмическая связь между видом коэффициентов в системе (1.1.1) и условиями ее - устойчивости.
Пример 1.3.1 Пусть система (1.1.1) имеет вид (1.1.14). В данном случае и , а
.
Составим матрицы ,
,
.
Уравнение (1.3.1) имеет вид
. (1.3.2)
Корни уравнения (1.3.2) отрицательны, поэтому движение системы (1.1.14) асимптотически - устойчиво.