Устойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмуще...
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
постоянных возмущениях
Если движение системы
(1.4.1)
асимптотически устойчиво по Ляпунову, то это движение устойчиво при п.д.в., малых по величине (интегрально), а малое изменение коэффициентов в системе (1.4.1) сохраняет асимптотическую устойчивость [15, 19]. Если же движение системы (1) асимптотически устойчиво относительно , докажем, что:
- это движение устойчиво относительно
при п.д.в., причем часть функций , входящих в возмущающую вектор функцию, могут быть и не малыми по величине (интегрально), а при некоторых равенствах, связывающих , возможна даже асимптотическая устойчивость;
- сколь угодно малое изменение коэффициентов системы (1.4.1) может приводить к неустойчивости по
.
Наряду с системой (1.4.1) рассмотрим возмущенную систему
, (1.4.2)
где вектор функции , - постоянно действующие возмущения. (Вообще говоря ).
Компоненты, составляющие вектор и вектор функцию , разобьем на две группы и представим и в виде ; такое разбиение делается с целью выявить более широкие возможности для части компонент вектора и вектор функции , чем те, что обычно допускаются в теории устойчивости движения (как по отношению ко всем, так и по отношению к части переменных) при п.д.в. Это представляет перспективный интерес с точки зрения анализа предельных возможностей сохранения динамической системой устойчивости под влиянием постоянно действующих возмущений, а также способствует лучшему пониманию особенностей задачи устойчивости по отношению к части переменных, не имеющих места при исследовании устойчивости по всем переменным.
Определение 1.4.1 (Воротников В.И [5]) . Движение системы (1.1.1) называется
1) - устойчивым при постоянно действующих возмущениях в целом по , , если для любого числа могут быть указаны положительные числа , такие, что неравенства
, , (1.4.3)
выполняются на всех движениях системы (2), начинающихся в области
, (1.4.4)
при любых значениях , удовлетворяющих условиям
(1.4.5)
в области (1.4.3).
2) асимптотически устойчивым относительно при постоянно действующих возмущениях (в целом по , ), если это движение устойчиво в смысле определения 1.4.1, в котором
()
и, кроме того,
при .
Замечание 1.4.1 В отличие от ранее введенных определений устойчивости при п.д.в. (как по всем, так и по части переменных), в определении 1.4.1 допускаются сколь угодно большие значения не только части компонент вектора , но и вектор - функции .
Замечание 1.4.2 Асимптотическая устойчивость по всем переменным невозмущенного движения системы (1.4.1) при п.д.в. невозможна даже в случае малых . Поэтому введенное определение асимптотической устойчивости при п.д.в. имеет лишь по отношению к части компонент фазового вектора динамических систем.
Рассмотрим матрицы
(1.4.6)
вида:
а) строки матрицы размера линейно независимые вектор столбцы матрицы где ;
б) столбцы матрицы размера линейно независимы вектор столбцы матрицы (пусть эти столбцы имеют номер в матрице );
в) строка с номером матрицы размера является строкой с номером матрицы обратной к а остальные строки матрицы нулевые;
г)
где единичная матрица размера
, (1.4.7)
где - единичная матрица размера - линейно-независимые векторы-столбцы матрицы , матрица невырожденная, ; - знак транспонирования.
Для рассматриваемого класса вектор функции в системе (1.4.2) всегда можно представить в идее
где , - постоянные векторы соответствующих размеров.
Теорема 1.4.1 (Воротников В.И. [5]). Пусть все корни уравнения
(1.4.8)
имеют отрицательные вещественные части.
1 Если у матрицы столбцы с номерами - нулевые, то движение системы (1.4.1) устойчиво относительно при п.д.в. в целом по , причем в вектор и вектор функцию входят соответственно переменные и функции с номерами .
2 Пусть столбцы матрицы линейно независимы, причем в области
, ,
выполняются условия
, , (1.4.9)
, (1.4.10)
в которых - линейно независимые столбцы матрицы - элементы матрицы , - достаточно малая положительная постоянная. Тогда движение системы (1) асимптотически устойчиво относительно при малых п.д.в, удовлетворяющих условиям (1.4.9), (1.4.10). Если, кроме того, у матрицы столбцы с номерами - нулевые, то имеет место асимптотическая устойчивость в целом по и , .
Следствие 1.4.1 (Воротников В.И. [5]). Пусть все корни уравнения (1.4.7) имеют отрицательные вещественные части. Тогда движение системы (1.4.1) устойчиво относительно при п.д.в., малых в каждый момент времени.
Следствие 1.4.2 (Воротников В.И. [5]). Если все корни уравнения (1.4.7) имеют отрицательные вещественные части, столбцы матрицы линейно независимы и выполняется тождество , то для асимптотической устойчивости относительно движения системы (1) при малых п.д.в. необходимо и достаточно выполнения условия (1.4.9).
Условие теоремы 1.4.1 о существовании нулевых столбцов в можно ослабить при предположениях теории инвариантности [27]
(1.4.11)
Однако в этом случае ни одно из значений вектора не может быть, вообще говоря, произвольным по вел