Устойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмуще...
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
»ых в среднем или малых интегрально), множества
(2.1.1.8)
в предположении, что оно инвариантно в силу системы (2.1.1.1). Ясно, что из устойчивости при п.д.в. инвариантного множества (2.1.1.8) следует уустойчивость при п.д.в. движения системы (2.1.1.1).
Очевидно также, что из устойчивости (равномерной устойчивости) при п.д.в., малых в среднем, вытекает устойчивость (равномерная устойчивость) при п.д.в., малых в каждый момент времени. А это, в свою очередь, влечет за собой устойчивость (равномерную устойчивость) при п.д.в., малых интегрально.
Рассмотрим теоремы, которые доказал Озиранер А.С. [25], с помощью метода функций Ляпунова.
Теорема 2.1.1.1 (Озиранер А.С.[25]). Предположим, что существует функция , обладающая непрерывными и ограниченными частными производными по координатам
, (2.1.1.9) удовлетворяющая неравенствам
, (2.1.1.10)
(2.1.1.11) производная по времени, от которой в силу системы (1.1.1)
. (2.1.1.12)
Здесь и - непрерывные монотонно возрастающие функции, обращающиеся в нуль при . Тогда движение системы (1.1.1) равномерно устойчиво при п.д.в.,малых в каждый момент времени.
Теорема 2.1.2 (Озиранер А.С.[25]). Предположим, что существует функция , удовлетворяющая условиям (2.1.1.9), (2.1.1.10), (2.1.1.13), (2.1.1.14)
, (2.1.1.13)
. (2.1.1.14)
Тогда инвариантное [24], [26] в силу системы (2.1.1.1) множество (2.1.1.8) равномерно устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем.
Замечание 2.1.1.1 Теоремы 2.1.1.1 и 2.1.1.2 обобщают на задачу устойчивости относительно части переменных результаты, полученные в [10], [15], [19]; кроме того, теорема 2.1.1.2 усиливает теорему А.У. Каримова[14].
Следствие 2.1.1.1 Если в области (2.1.1.2) функции и непрерывны и ограничены, а инвариантное множество (2.1.1.8) равномерно асимптотически устойчиво, то оно равномерно устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем.
Действительно, при сделанных предположениях, как показано в [24], существует функция , удовлетворяющая условиям теоремы 2.1.1.2.
Теорема 2.1.1.3 (Озиранер А.С. [25]). Предположим, что для любого существует , такое, что в области , выполняется условие . Если существуют функции и , удовлетворяющие в области (2.1.2) неравенствам (2.1.9) и
, (2.1.1.15) причем для любых и таких, что , выполняется условие
при , ,
то движение системы (2.1.1.1) равномерно устойчиво при п.д.в., малых в каждый момент времени.
Теорема 2.1.1.4 (Озиранер А.С.[25]). Предположим, что существует функция , удовлетворяющая условиям (2.1.1.9) и (2.1.1.10), причем
. (2.1.1.16)
Тогда движение равномерно устойчиво при п.д.в., малых интегрально.
Если, кроме того, удовлетворяет неравенству (2.1.1.13), то инвариантное множество (2.1.1.8) равномерно устойчиво при п.д.в., малых интегрально.
Замечание 2.1.1.2 Первое утверждение теоремы 2.1.1.4 обобщает на задачу устойчивости относительно части переменных результат, полученный в [9].
Замечание 2.1.1.3 В теоремах 2.1.1.1-2.1.1.4 можно отказаться от гладкости функции , заменив условие (2.1.1.9) более слабым ; при этом под следует понимать обобщенную производную[11, 32].
2.1.2 Пример движения голономной механической системы
Пример 2.1.2 Рассмотрим уравнения движения голономной механической системы в лагранжевых координатах
, . (2.1.2.1)
Здесь - кинетическая энергия ( - форма степени относительно ), - потенциальная энергия.
Предположим, что система (3.1) имеет частное решение (положение равновесия)
. (2.1.2.2)
Если не зависит явно от времени, то уравнения (2.1.17) допускают (обобщенный) интеграл энергии
. (2.1.2.3)
Производная в силу возмущенной системы (2.1.20) имеет вид (2.1.21)
, (2.1.2.4)
. (2.1.2.5)
Если определенно положительна по , а - по , то положение равновесия (2.1.2.2) равномерно устойчиво относительно , при п.д.в. , малых интегрально.
Если же, кроме того, наложенные на систему связи не зависят от времени (), допускает бесконечно малый высший предел по , а коэффициенты ограничены, то инвариантное в силу системы (2.1.2.1) множество , равномерно устойчиво при постоянно действующих возмущениях , малых интегрально.
2.1.3 Распространение принципа сравнения с вектор - функцией Ляпунова на задачу -устойчивости при постоянно действующих возмущениях
На задачу уустойчивости при п.д.в. может быть распространен принцип сравнения с вектор - функцией Ляпунова [20, 22] в форме Л. Хатвани [34].
Теорема 2.1.3.1 ( Озиранер А.С.[25]). Предположим, что:
- Существует вектор функция
, удовлетворяющая следующим условиям: 1) и непрерывны, ;
2) для некоторого , а
; (2.1.3.1)
3) ;
4) удовлетворяет системе дифференциальных неравенств
. (2.1.3.2)