Устойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмуще...
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ающих факторов приводит к тому, что система (1.1.2) имеет произвольные по величине положения равновесия, и, следовательно, задача - устойчивости не имеет смысла.
Замечание 1.1.3 Определение асимптотической - устойчивости и даже асимптотической - устойчивости имеет смысл лишь при согласно [19].
Рассмотрим матрицы
, (1.1.6)
, (1.1.7)
где - единичная матрица размера , , - линейно-независимые векторы-столбцы матрицы - произвольная матрица размера , такая, что матрица невырожденная, ; - знак транспонирования.
Теорема 1.1.1 (Воротников В.И. [4]). Пусть движение системы (1.1) асимптотически - устойчиво. Если у матрицы строки с номерами нулевые, то движение - устойчиво, причем в вектор и вектор функцию входят соответственно переменные и функции с номерами .
Доказательство. Сделаем в системе (1.1) замену переменных , где матрица имеет вид (1.1.7). В новых переменных уравнения системы (1.1.1), согласно [2, 7] распадаются на две группы:
,
причем - мерный вектор , описывающий состояние системы
, (1.1.8)
полностью определяет поведение переменных системы (1.1.1).
Рассмотрим наряду с (1.1.8) систему
.
Движение системы (1.1.8), согласно [7], асимптотически устойчиво по Ляпунову, поэтому [19] оно устойчиво по всем переменным при постоянно действующих малых возмущениях . Но функция не содержит возмущений , , поэтому движение системы (1.1) - устойчиво, причем в вектор и вектор функцию входят соответственно переменные и с номерами . Теорема доказана.
Следствие. Если движение системы (1.1) асимптотически - устойчиво, то оно - устойчиво.
Пример 1.1.1 Пусть уравнения возмущенного движения (1.1) имеют вид
(1.1.9)
.
Систему (1.1.8) в данном случае составят уравнения
.
Собственные числа матрицы имеют отрицательные части нулевая, поэтому, согласно теореме 1.1.1, движение системы (1.1.9) - устойчиво, причем , . Таким образом, невозмущенное движение системы (1.1.9) - устойчиво при любой возмущающей функции , действующей на третье уравнение, и достаточно малых по величине возмущающих функциях , действующих на три других уравнения этой системы.
Пример 1.1.2 Рассмотрим уравнения возмущенного движения регулируемой системы в критическом случае двух нулевых корней
(1.1.10)
где - постоянные числа, - непрерывная функция, удовлетворяющая условию .
Введем новую переменную [3] , где - постоянное число. Система (1.1.10) приводиться к виду
, (1.1.11)
.
Известные условия устойчивости в целом невозмущенного движения системы (1.1.11) [17] будут, согласно [3], достаточными условиями - устойчивости в целом невозмущенного движения системы (1.1.10) при любом конечном числе , ибо величину можно сделать достаточно малой за счет подходящего выбора величины .
Пусть вектор функции и в системе (1.1.2) имеют вид
,
где и - постоянные векторы соответствующих размеров.
Допустим, что , и обозначим , линейно независимые векторы столбцы матрицы . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что все векторы столбцы матрицы линейно независимы. Рассмотрим систему алгебраических уравнений для определения
.
Предположим, что
, (1.1.12)
, (1.1.13)
где - достаточно малые положительные постоянные.
Теорема 1.1.2 (Воротников В.И. [4]). Если движение системы (1.1.1) асимптотически - устойчиво, то движение будет асимптотически - устойчивым при любых удовлетворяющих условиям (1.1.12) достаточно малых возмущениях , и любых удовлетворяющих условиям (1.1.13) возмущениях . Если, кроме того, у матрицы строки с номерами нулевые, то это движение асимптотически - устойчиво, причем в вектор и вектор функцию входят соответственно переменные и функции с номерами .
Пример 1.1.3 Пусть уравнения возмущенного движения (1.1) имеют вид
(1.1.14)
Поскольку , то условие (2.1) в данном случае имеет вид
. (1.1.15)
После введения новой переменной система
приводиться к виду
.
Поэтому при выполнении условий (1.1.13) невозмущенное движение системы (1.1.14) асимптотически - устойчиво согласно теореме 1.1.2.
Дальнейшим развитием проблемы устойчивости на класс управляемых систем является задача стабилизации движения. Эта задача имеет большое значение в связи с бурным развитием теории управления и ее обширными практическими применениями.
Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения управляемого объекта
или, в переменных
, (1.1.16)
правые части определены и непрерывны в области
. (1.1.17)
Вектор управляющих воздействий ищем в виде ; при этом предполагается, что вектор-функция , удовлетворяющая условию , определена и непрерывна в области
, (1.1.18)
а система (1.1.16) при удовлетворяет ограничениям, наложенным на систему (1.1.18). Пусть - некоторый класс допустимых уравнений. Критерий качества управления принимается в виде условия минимума интеграла
,
в котором - скалярная непрерывная в области (1.1.17) функция, - решение системы (1.1.16) при , .
Задача оптимал?/p>