Теореми Чеви і Менелая та їх застосування
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
µмою Чеви маємо
.
Отже,
.
Нерівність перетворюється в рівність у випадку збігу основ прямих Чеви з серединами відповідних сторін, отже, в цьому випадку добуток має найбільшу величину , де сторони трикутника.Отже, шуканою точкою є точка перетину медіан трикутника.
Задача 3.5. Прямі перетинають сторони трикутника (або їхні продовження) у точках . Довести, що:
а) прямі, що проходять через середини сторін паралельно прямим , перетинаються в одній точці;
б) прямі, що зєднують середини сторін із серединами відрізків , перетинаються в одній точці.
Доведення.
Нехай середини сторін . Розглянуті прямі проходять через вершини трикутника , при цьому в задачі а) вони ділять його сторони в таких же відношеннях, у яких прямі ділять сторони трикутника , а в задачі б) вони ділять їх у зворотних відношеннях. Залишається скористатись теоремою Чеви.
Задача 3.6. На сторонах трикутника взяті точки так, що відрізки перетинаються в одній точці. Прямі і перетинають пряму, що проходить через вершину паралельно стороні , в точках і відповідно. Довести, що .
Доведення.
Оскільки і , то
Тому
Задача 3.7. а) Нехай довільні кути, при цьому сума будь-яких двох з них менше 180. На сторонах трикутника зовнішнім чином побудовані трикутники , що мають при вершинах кути . Довести, що прямі перетинаються в одній точці.
б) довести аналогічне твердження для трикутників, побудованих на сторонах трикутника внутрішнім чином.
Доведення.
Нехай прямі перетинають прямі в точках .
Якщо і , то
Останній вираз дорівнює у всіх випадках.
Аналогічно записуються вирази для і . Перемножуємо всі вирази і залишається скористатися теоремою Чеви.
Задача 3.8. Прямі перетинають прямі в точках відповідно. Точки обрані на прямих так, що
, , .
Довести, що прямі також перетинаються в одній точці (або паралельні). Такі точці і називають ізотомічно спряженими відносно трикутника .
Доведення очевидним чином випливає з теореми Чеви.
Задача 3.9. На сторонах трикутника взяті точки , при цьому прямі перетинаються в одній точці . Довести, що прямі
симетричні цим прямим відносно відповідних бісектрис, також перетинаються в одній точці . Такі точки і називають ізогонально спряженими відносно трикутника .
Доведення.
Можна вважати, що точки лежать на сторонах трикутника .
Згідно з теоремою Чеви в формі синусів
Оскільки прямі симетричні прямим відносно бісектрис, то , і т.д., тому
Отже,
,
тобто прямі перетинаються в одній точці.
Задачі для самостійної роботи
Задача 3.10. Протилежні сторони опуклого шестикутника попарно паралельні. Довести, що прямі, які зєднують середини протилежних сторін, перетинаються в одній точці.
Доведення
Нехай діагоналі і даного шестикутника перетинаються в точці ; і середини сторін і . Оскільки - трапеція, відрізок проходить через точку . Згідно з теоремою синусів
, .
Оскільки і , то .
Аналогічні співвідношення можна записати і для відрізків, які зєднують середини двох інших пар протилежних сторін. Перемножуючи ці співвідношення, одержуємо необхідне.
Задача 3.11. Через точки і , що лежать на колі, проведено дотичні, які перетина-ються в точці . На дузі взяті точки і . Прямі і перетинаються в точці , і у точці . Довести, що пряма проходить через точку .
Доведення.
Згідно з теоремою Чеви у формі синусів
Але.
Тому .
З цього випливає, що точки лежать на одній прямій, оскільки функція монотонна по :
Задача 3.12. а) На сторонах рівнобедреного трикутника з основою взяті точки так, що прямі перетинаються в одній точці. Довести, що
б) В середині рівнобедреного трикутника з основою взяті точки і так, що і . Довести, що точки лежать на одній прямій.
Доведення.
а) Згідно з теоремою Чеви
,
а по теоремі синусів
Підставляючи ці чотири рівності в попередню рівність, і враховуючи, що , одержуємо необхідне.
б) Позначимо точки перетину прямих і з основою через і . Потрібно довести, що . З а) випливає, що , тобто .
Задача 3.13. У трикутнику проведені бісектриси . Бісектриси перетинають відрізки та в точках . Довести, що .
Доведення.
Нехай відрізки і перетинають сторону в точках і . Тоді
Якщо точка перетину бісектрис трикутника , то
,
отже,
.
Помітивши, що , і проводячи аналогічні обчислення для , одержимо .
Оскільки , то .
Задача 3.14. На сторонах трикутника взяті точки , при цьому перетинаються в одній точці. Довести, що .
Доведення
Нехай . Тоді
Згідно з теоремою Чеви
,
тобто .
Крім того,
Отже, .
Задача 3.15. На сторонах трикутника у зовнішню сторону побудовані квадрати. середини протилежних сторін квадратів, побудованих на відповідно. Довести, що прямі перетинаються в одній точці.
Доведення.
Нехай точки перетину прямих зі сторонами відповідно.
Відношення дорівнює відношенню висот, які опущено ?/p>