Теореми Чеви і Менелая та їх застосування
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
з вершини на основу піраміди, збігається з точкою перетином діагоналей і . Довести, що основи перпендикулярів, опущених із точки на бічні грані піраміди, лежать на одному колі.
Рис. 2.6 До задачі 2.4
Розвязок.
Нехай перпендикуляр до площини , перпендикуляр до площини , перпендикуляр до площини . Покажемо, наприклад, що точка ортоцентр грані . В площині грані проведемо промінь до перетину з ребром в точці . Згідно з умовою, і . Тому .
Згідно з теоремою про три перпендикуляри ( , похила, її проекція на ) маємо, що . Аналогічно доводиться, що . Отже, точка ортоцентр грані .
Аналогічно доводиться, що точки і також є ортоцентрами відповідних граней.
Зєднаємо точки і . Згідно з теоремою про три перпендикуляри . Зєднаємо точки і . Згідно з теоремою про три перпендикуляри .
Оскільки з точки в грані на можна провести тільки один перпендикуляр, то відрізок пройде через точку . Отже, висоти, проведені в гранях і з вершин і на ребро , проходять через точки і відповідно і перетинають ребро в точці .
Аналогічно доводиться, що висоти граней і , проведені з вершин і на ребро , проходять через точки і відповідно і попадають в ту саму точку на ребрі .
Розглянемо трикутник , у якому і (див. рис 2.7)
Рис 2.7
Нехай і . Тоді і .
З :
;;.
З :
;; .
Аналогічно розглянемо , нехай (див. рис. 2.8).
Рис 2.8
З ;;
З ; ;
Точки і належать відповідно ребрам і тетраедра . Розглянемо добуток
З того, що розглянутий добуток дорівнює 1, випливає, що точки і належать однієї площини (назвемо неї ). Побудуємо на , як на діаметрі сферу (на рисунку не наведено). Оскільки , то вершини цих кутів лежать на побудованій сфері. А так як точки і належать також площині , то ці точки лежать на перетині площини зі сферою тобто на колі.
Задачі для самостійної роботи
Задача 2.5 В тетраедрі через середини та ребер та проведена площина, яка перетинає ребра та відповідно в точках та . Площа чотирикутника дорівнює 16, а відношення довжини відрізка до довжини відрізка дорівнює 0,5. Обчислити відстань від вершини до площини , якщо обєм багатогранника дорівнює 8.
Розвязок.
Згідно з теоремою Менелая для тетраедра
,
, .
Знайдемо обєм :
Знаходимо , де - площа , - висота проведена з вершини , - обєм .
Знаходимо висоту :
Знаходимо площу .
,
,
Тоді
Знайдемо обєм
,
де - висота, проведена з вершини до , - висота проведена з вершини до .
Знаходимо висоту :
Знаходимо площу .
,
Тоді
Отже,
Тоді
Залишилось знайти
,
де .
Знайдемо площу .
,
Тоді
Отже
Знаходимо відстань від вершини до площини
Відповідь: .
Задача 2.6 В тетраедрі проведено переріз так, що точка лежить на ребрі , точка на ребрі , точка на ребрі , точка - на ребрі . Переріз ділить піраміду на дві частини. Знайти відношення обємів цих частин, якщо відомі наступні співвідношення між довжинами відрізків
та .
Розвязок.
Нам треба знайти .
Нехай , відомо .
Згідно з теоремою Менелая для тетраедра
,
,.
З умови задачі маємо
Складаємо систему :
Отже, .
Розбиваємо багатогранник на три трикутні піраміди:
.
Знайдемо обєм піраміди . Нехай площа трикутника , довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини , обєм піраміди , довжина висоти піраміди .
Тоді
Знайдемо та .
,
Знайдемо висоту
:
Отже,
Знайдемо обєм піраміди :
Відомо, що . Знайдемо .
,
Відомо, що
Отже,
Знайдемо обєм піраміди . Нехай - площа грані , довжина висоти даної піраміди проведена з вершини на площину грані , довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину грані .
Тоді
Знайдемо та
,
Отже,
Обєм багатогранника
.
Отже, .
Остаточно
Відповідь: 37:68.
Задача 2.7 Точки не належать одній площині. Відрізки і поділені точками та так, що , а відрізки і поділені точками та так, що . Довести, що точки та належать одній площині.
Доведення.
Розглянемо добуток . Підставляємо відомі відношення з умови
Це і є необхідна й достатня умова належності точок та одній площині.
Задача 2.8 Площина, яка проходить через середини та ребер та тетраедра , перетинає ребро в точці , а ребро в точці . Довести, що .
Доведення.
За умовою задачі . Згідно з теоремою Менелая для тетраедра
, .
Задача 2.9 Сфера дотикається сторін просторового чотирикутника в точках відповідно. Довести, що точки лежать в одній площині.
Доведення.
З рівності відрізків дотичних випливає, що
Проведемо площину через точки . Нехай вона перетинає в точці . Тоді
.
Знаходимо, ?/p>