Теореми Чеви і Менелая та їх застосування
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
астосовується мало відома стереометрична теорема Менелая для довільного тетраедра.
Теорема Менелая для тетраедра. У довільному тетраедрі точки належать ребрам і відповідно (див. рис. 2.1). Для того, щоб точки належали однієї площині, необхідно і достатньо, щоб виконувалось співвідношення
(2.1)
Рис 2.1 До формулювання теореми Менелая для довільного тетраедра
Доведення. Необхідність. Нехай чотирикутник перетин даного тетраедра деякою площиною . Проведемо перпендикуляри до площи-ни . Розглянемо фрагмент перетин ребра площиною (див. рис. 2.2).
Рис 2.2 До доведення теореми Менелая
Трикутники та подібні, тому .
Трикутники та подібні, тому .
Трикутники та подібні, тому .
Трикутники та подібні, тому .
Перемножуючи знайдені пропорції, приходимо до рівності:
.
Достатність. Припустимо, що виконується співвідношення (2.1), але точки не лежать в одній площині. Проведемо через точки площину , що перетинає ребро в деякій точці , відмінної від . Тому ,
отже, співвідношення (2.1) для точок виконуватися не буде. Оскільки ми прийшли до протиріччя з вихідною умовою (не виконується рівність (2.1)), то наше припущення невірне й площина пройде через точку .
Теорема доведена.
Наведемо застосування цієї теореми до розвязання стереометричних задач.
Задача 2.1 У тетраедрі точки належать ребрам і відповідно (див. рис. 2.3), причому і . Через точки проведена площина . У якому відношенні ця площина поділяє обєм тетраедра?
Рис. 2.3 До задачі 2.1
Розвязок. Нехай площина перетинає ребро в точці . Чотирикутник переріз даного тетраедра площиною . Визначимо, у якому відношенні точка поділяє ребро . На підставі співвідношення (2.1) та умови задачі маємо
,
звідки.
У багатограннику проведемо переріз через ребро і вершину . Цей переріз розбиває розглянутий багатогранник на трикутну піраміду і чотирикутну піраміду , яка діагональним перерізом розбивається на дві трикутні піраміди: .
Нехай площа грані , довжина висоти тетраедра, проведена з вершини , обєм даного тетраедра. Визначимо обєми трьох отриманих вище трикутних пірамід. Для піраміди :
де довжина висоти трикутної піраміди , проведена з вершини на площину грані (). Тоді
Нехай далі площа грані , довжина висоти даного тетраедра, проведена з вершини на площину грані . Тоді
де довжина перпендикуляра, проведеного з вершини на площину грані () і
Знайдемо тепер обєм багатогранника :
Отже, .
У такий спосіб шукане відношення дорівнює 23:40.
Відповідь: 23:40.
Задача 2.2. Обєм тетраедра дорівнює 5. Через середини ребер проведена площина, яка перетинає ребро в точці . При цьому відношення довжини відрізка до довжини відрізка дорівнює . Знайдіть площу перерізу тетраедра зазначеною площиною, якщо відстань до неї від вершини дорівнює 1.
Рис. 2.4 До задачі 2.2
Розвязок.
Нехай і середини ребер відповідно і .
Чотирикутник заданий за умовою переріз. На підставі теореми Менелая
,
,
звідки .
Зєднаємо точки і , і , і .
Нехай і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини На рисунку не наведено), дорівнює . Згідно з умовою задачі . Висота піраміди , проведена з вершини дорівнює .
Знайдемо тепер обєм піраміди :
Далі нехай і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини на грань дорівнює . Тоді обєм піраміди дорівнює
.
З іншої сторони (враховуючи, що відстань від вершини до площини перерізу за умовою задачі дорівнює 1), маємо
Отже, .
Відповідь: 3.
Задача 2.3 В піраміді проведений переріз так, що точка лежить на ребрі точка на ребрі , точка на ребрі , точка на ребрі . Відомо, що , .
Знайти відношення обємів частин, на які площина поділяє піраміду.
Рис 2.5 До задачі 2.3
Розвязок.
З умови задачі безпосередньо випливає, що
(2.3.1)
(2.3.2)
Нехай , .
Згідно з теоремою Менелая маємо
Враховуючи (2.3.1) і (2.3.2) й прийняті вище позначення одержуємо
,
звідки (2.3.3)
Розділивши обидві частини останньої рівності з умови задачі на , одержуємо
або
(2.3.4)
З (2.3.3) і (2.3.4) складаємо систему
Розвязуємо цю систему:
і
Розбиваємо багатогранник на три трикутні піраміди: , .
Нехай площа трикутника , довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини , обєм даної піраміди, довжина висоти піраміди , проведена з вершини . Тоді маємо
Нехай площа грані , довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини на площину грані , довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину грані . Тоді маємо
Знайдемо обєм багатогранника :
Отже, .
Таким чином, шукане відношення дорівнює 17:18.
Відповідь: 17:18.
Задача 2.4 Задана піраміда , основа якої має форму опуклого чотирикутни-ка зі взаємно перпендикулярними діагоналями і . Основа перпендикуляра, опущеного