Теореми Чеви і Менелая та їх застосування
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
прямої :
(1.3.9)
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
(1.3.10)
Використовуючи (1.3.9) і (1.3.10) дістанемо:
Аналогічно
А далі розвязуємо, як в 1-му способі.
Відповідь: 3 : 7.
Задача 1.4 Висота рівнобедреного трикутника з основою поділена на три рівні частини. Через точку та точки поділу проведено прямі, які ділять бічну сторону, що дорівнює см, на три відрізки. Знайти ці відрізки.
Розвязок.
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
,
,
Звідси см , см.
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
,
Звідси см, (см)
Відповідь: 12 см, 18 см, 30 см.
Задача 1.5 Через середину сторони паралелограма , площа якого дорівнює 1, і вершину проведено пряму, яка перетинає діагональ у точці . Знайти площу чотирикутника .
Розвязок.
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
,
,
Оскільки площі трикутників з рівними висотами відносяться як основи, то
Відповідь:
Задача 1.6. У трикутнику на стороні взято точку , а на стороні точки і так , що і . У якому відношенні пряма ділить відрізок .
Розвязок.
За умовою .
.
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
,
,
.
Відповідь: 11 : 3.
Задача 1.7 На сторонах і трикутника дано відповідно точки і такі , що .У якому відношенні точка перетину відрізків і ділить кожен з цих відрізків ?
Розвязок.
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
.
,
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
,
,
Відповідь: , .
Задача 1.8 Ортоцентр трикутника (ортоцентр точка перетину висот) ділить висоту навпіл. Довести , що , де кути трикутника.
Доведення.
Нехай - даний трикутник, - його ортоцентр, .
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
Виходячи з умови .
З .
З .
З .
Підставимо знайдені залежності в теорему Менелая:
,
,
,
що і треба було довести.
Задача 1.9 З вершини прямого кута трикутника проведено висоту , а в трикутнику проведено бісектрису . Пряма, що проходить через точку паралельно , перетинає у точці . Довести, що пряма ділить відрізок навпіл.
Розвязок.
Нехай , тоді , .
( - бісектриса).
.
Тому - рівнобедрений, .
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
Трикутники і подібні,
.
Тоді
(1.9.1)
З подібності трикутників і запишемо:
(1.9.2)
З трикутника за властивістю бісектриси:
(1.9.3)
Порівнюючи співвідношення (1.9.1), (1.9.2), (1.9.3) маємо:
Підставимо знайдений результат у теорему Менелая :
,
Тобто , що і треба було довести.
Задачі для самостійної роботи
Задача 1.10 Нехай медіана трикутника . На взята точка так, що . В якому співвідношенні пряма ділить площу трикутника ?
Розвязок.
Відношення площ трикутників та дорівнює відношенню відрізків та Застосовуючи теорему Менелая до трикутника ACD та прямої BP, маємо
,
, .
Відповідь: AP:PC=3:2.
Задача 1.11 Три кола різних радіусів розташовані на площині так, що жодне з них не лежить повністю в колі, яке обмежено іншим колом. Кожній парі кіл поставимо у відповідність точку перетину зовнішніх подвійних дотичних. Довести, що одержані три точки лежать на одній прямій.
Доведення.
Нехай радіуси кіл з центрами рівні відповідно . Тоді
,
так як кіла з центрами и гомотетичні відповідно точки С, а відношення радіусів - коефіцієнт гомотетіі.
Аналогічно .
Таким чином , .
З теореми оберненої до теореми Менелая маємо, що точки А,В,С лежать на одній прямій.
Задача 1.12 В бісектриса поділяє в відношенні 2:1. В якому відношенні медіана поділяє цю бісектрису ?
Розвязок .
Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої
.
Так як медіана, то , звідси
Відповідь: .
Задача 1.13 В правильном трикутнику зі стороною точка середина , середина , , . Знайти .
Розвязок.
Площа правильного трикутника дорівнює .
Розглянемо трапецію , . Знайдемо висоту цієї трапеції:
Оскільки , то , звідки .
За умовою , де трапеція з висотою , тоді
.
Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :
.
Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :
.
Оскільки , то , звідки .
.
Відповідь:
Задача 1.14 Дан паралелограм . Точка поділяє відрізок в відношені , а точка поділяє відр