Теореми Чеви і Менелая та їх застосування
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
»я того, щоб прямі і перетиналися в одній точці, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність
(4.5)
або еквівалентна рівність
(4.5/)
Теорема Менелая. Для того, щоб точки лежали на одній прямій, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність
(4.6)
або еквівалентна рівність
(4.6/)
Доведення теореми Чеви.
Необхідність. Нехай прямі , перетинаються в одній точці. Доведемо, що виконуються умови (4.5) і (4.5/).
Якщо прямі і перетинаються в одній точці, то або всі три точки і лежать на сторонах трикутника , або одна з точок лежить на стороні трикутника, а дві інші на продовженнях відповідних сторін.
У першому випадку всі дроби, що входять у вираз , додатні, а в другому випадку один із трьох дробів, що входить у вираз , додатний, а два інші відємні, так що знову вираз (а отже, і див. лему) більше нуля.
Доведемо, що (оскільки >0, то з цього буде випливати, що дорівнює одиниці).
Позначимо точку перетину прямих і через (рис. 4.4а).
а)
б)
Рис. 4.4
Застосовуючи теорему синусів, одержимо
,
Перемножуючи ці рівності, знаходимо , тим самим необхідність доведена.
Достатність. Доведення достатності проведемо методом від супротивного.
Припустимо, що , але прямі , і не проходять через одну крапку (див. рис. 4.4б).
Позначимо точку перетину прямих і через , а через точку перетину прямих і . Оскільки прямі , і перетинаються в одній точці, то
Але за умовою
,
звідки . Так як і точка і точка лежать на прямій , то з цього випливає, що точки та збігаються.
Теорема Чеви доведена.
Доведення теореми Менелая
Необхідність. Відомо, що точки і лежать на одній прямій. Необхідно довести рівності (4.6) та (4.).
Якщо точки і лежать на одній прямій, то або усі вони знаходяться на продовженнях і сторін трикутника , або ж дві з точок знаходяться на відповідних ним сторонах, а третя на продовженні.
В обох випадках вираження буде відємним. Доведемо тепер, що якщо точки на одній прямій, то (оскільки <0, з цього буде випливати, що ).
Проведемо через точку пряму, паралельну , і позначимо точку її перетину з прямою через (див. рис. 4.5).
Рис. 4.5
Використовуючи подібність, одержимо
Додавши рівність і перемноживши всі три рівності, одержимо, що . Необхідність умов теореми Менелая доведена.
Достатність. Доведення достатності умов (4.6) і (4.) теореми Менелая проводиться аналогічно доведенню достатності умов (4.5) і (4.) теореми Чеви.
Теорема доведена.
ВИСНОВКИ
Розвязок задач складає суттєву сторону процесу навчання математиці: рівень математичної підготовки в більшості визначається глибиною навиків у розвязанні задач.
Ці обставини спонукають з особливою увагою відноситись до організації в середніх школах, гімназіях та ліцеях ретельно продуманих занять, які мають за мету надати учням не тільки теоретичні знання в області геометрії, але й навчити їх вільно застосовувати здобуті знання до розвязання нестандартних задач середньої та підвищенної складності.
Останнім часом у варіантах вступних іспитів все частіше зустрічаються задачі, розвязок яких суттєво спрощується за допомогою теорем Чеви та Менелая.
Дипломна робота присвячена вивченню теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведенню нетривіальних наслідків цих теорем та розвязанню задач за допомогою цих теорем.
Теорема Менелая має широке застосування при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших) та розвязанні задач. Теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. В роботі наведено багато задач, розвязаних двома способами: традиційним і за допомогою теореми Менелая, при цьому останній спосіб розвязання задач виявляється більш раціональним (розвязок задачі займає всього кілька рядків). Зазначимо, що при розвязку задач найскладнішою справою є пошук трикутника, до якого слід застосувати теорему Менелая.
Теореми Чеви використовується при розвязуванні задач про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трійок прямих в одній точці.
В роботі також розглянуто аналоги теорем Чеви та Менелая в просторі.
Наведені в дипломній роботі задачі (розвязано 50 задач) можуть бути використані при позакласній роботі з учнями (на заняттях гуртків, при проведенні математичних олімпіад, для індивідуальної роботи з найбільш здатними учнями).
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. 1 часть. Планиметрия. М.: Сантакс-Пресс, 1997. 304 с.
2. Буник І. Теорема Менелая // Математика. №15(315), квітень, 2005. с.17-21.
3. Габович И. Теорема Менелая для тетраэдра // КВАНТ, №6, 1996, с. 34-36.
4. Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна решения разные.К.: Рад. шк.1988.173с.
5. Егоров А. Теоремы Чевы и Менелая // КВАНТ, №3, 2004, с.35-38.
6. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. М., 1962. С. 151.
7. Карп А.П. Даю уроки математики…: Кн. для учителя: Из опыта работы. М.: Просвещение, 1992. 191 с.
8. Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978. 223 с.
9. Куланин Е. Об одной трудной геометрической задаче // КВАНТ, №7,1992.с.46-50
10. Орач Б. Теорема Менела?/p>