Теореми Чеви і Менелая та їх застосування
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
· точок та на сторону , тобто дорівнює відношенню .
Далі,
,
де .
Аналогічно,
,.
Перемножуючи ці рівності, маємо
.
Згідно з теоремою Чеви прямі перетинаються в одній точці.
Задача 3.16. Нехай з точки , яка взята зовні кола, проведені дві дотичні і до кола та дві січні, і нехай та точки перетину кола з першою січною, а точки та з другою. Тоді прямі і перетинаються в одній точці.
Доведення.
Застосуємо теорему Чеви до трикутника . Прямі і перетинаються в одній точці, якщо виконується рівність
(*)
Всі кути, що фігурують в останньому співвідношенні, вписані в задане коло; синуси цих кутів пропорційні довжинам хорд, що стягаються ними (наприклад, , де радіус кола).Тому рівність (*) еквівалентна такій рівності:
(**)
Покажемо, що (**) насправді виконується. З подоби трикутників й одержуємо . З подоби трикутників і маємо , і нарешті, з подоби трикутників і знаходимо .
Перемножуючи останні три рівності, маємо (*)
.
Задача 3.17. Трикутник вписано в трикутник : вершини лежать на сторонах відповідно. Довести, що якщо прямі, які проведені через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника , перетинаються в одній точці, то прямі, які проведені через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника перетинаються в одній точці.
Доведення.
Нехай прямі, які проходять через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника , перетинаються в точці .
Оскільки точки лежать на колі, побудованому на відрізку як на діаметрі, то . Опустимо з точки перпендикуляр на пряму . Оскільки , то , тобто пряма симетрична прямій відносно бісектриси кута .
Аналогічні міркування для інших кутів показують, що перпендикуляри , які опущені з вершин трикутника на сторони трикутника симетричні прямим відносно бісектрис трикутника . Згідно з задачею 3.9 прямі перетинають в одній точці.
Задача 3.18 (теорема Ван Обеля). На сторонах трикутника взято точки , так що прямі перетинаються в одній точці. Довести, що
.
Доведення.
Нехай прямі перетинають пряму, яка проходить через точку паралельно прямій , в точках і .
Оскільки трикутник подібний до трикутника , трикутник подібний до трикутника за першою ознакою подібності трикутників, то ; . Додавши ці рівності і, враховуючи, що , одержуємо:
.
Далі, трикутник подібний до трикутника і трикутник подібний до трикутника .
Тому ; .
Звідси випливає, що . З цієї рівності і рівності безпосередньо випливає, що
.
Задача 3.19 Задано трикутник . Довести, що чевіани , які ділять його периметр навпіл, перетинаються в одній точці.
Доведення.
Нехай довжини сторін відповідно , тоді число згідно з нерівністю трикутника додатнє і менше .
Нехай точка лежить на стороні і така, що . Зрозуміло, що пряма ділить периметр трикутника навпіл, аналогічно з точками і (можна помітити, що точки дотику вневписаних кіл трикутника ).
Переконавшись в існуванні потрібних точок, розвяжемо основну задачу.
Для цього обчислюємо довжини всіх необхідних відрізків.
, , ,
, , .
Зрозуміло, що , отже чевіани перетинаються в одній точці.
РОЗДІЛ 4
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ НА ПЛОЩИНІ
Означення. Під кутом між двома векторами і будемо розуміти кут, на який необхідно повернути вектор у додатньому напрямку (проти ходу годинної стрілки) до збігу з напрямком вектора (див. рис. 4.1).
Рис. 4.1 До визначення кута між двома векторами
Нехай для визначеності, що . З означення і властивостей функції випливає, що
.
Розглянемо два трикутники: (позначимо його через ) і , вершини і якого лежать на прямих і відповідно; позначимо трикутник через . Зрозуміло, що вектори і коллінеарні; також коллінеарні й вектори . Введемо для коллінеарних векторів і величину , яка дорівнює відношенню довжин векторів і , взятому зі знаком “+” , якщо вектори і співнаправлені, і зі знаком ““ у супротивному випадку.
Рис. 4.2
Визначимо для трикутників і величину :
(4.1)
Нехай далі трійка векторів , які коллінеарні векторам (сторонам трикутника ) трійка векторів , які коллінеарні векторам і . Визначимо для і величину
(4.2)
Лема. (4.3)
Доведення. Спочатку перевіримо, що та одного знака. Легко переконатися, що зміна напрямку одного з векторів , не змінить величини , тому можна обрати напрямок кожного з них певним чином; наприклад, можна вважати вектори , такими, що збігаються за напрямком з векторами , ,і (див. рис. 4.2) .
У цьому випадку кожний з трьох дробів, що входять у вираз має той самий знак, що і відповідний дріб, який входить у вираз .
Наприклад, дроби
і
будуть додатними, якщо точка розташована між точками і , і відємними супротивному випадку (див. рис. 4.2, 4.3).
Рис. 4.3
Залишилось довести, що . Маємо
Перемножуючи ці три рівності, одержимо, що . Лема доведена.
Далі буде необхідна рівність, що безпосередньо випливає з означення :
. (4.4)
Сформулюємо тепер теореми Чеви та Менелая.
Теорема Чеви. Д?/p>