Творческая тетрадь как средство обеспечения выполнения творческих работ по математике для учащихся 6 классов
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
альнейшего исследования может являться выделение класса углов, для которых способ дает верное решение (последовательно его применяя, получим ).
Изучение объекта:
Известны тройки взаимно простых чисел 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 11, 60, 61; удовлетворяющих равенству (Пифагоровы тройки). Как найти все такие тройки чисел?
Проводя исследование можно получить формулы для всех таких чисел: , , , где . Это гипотеза. Общие они или нет? Оказывается можно привести пример тройки, которая не описывается такими формулами - 8, 15, 17. Направлением дальнейшего исследования может являться обобщение формулы для всех троек.
Отметим, что описанная выше методика организации выполнения учащимися 6 классов творческих работ по математике является трудно воспроизводимой для учителя математики из-за трудности создания условий для возникновения творчества (создания особой среды на уроках). Кроме этого, у данной методики существует ограничение, связанное с тем, что она предполагает выбор учащемуся темы творческой работы, источником которой может являться только вопрос, возникший в процессе урока. Это не дает возможности для возникновения вопросов, связанных с областью, лежащей вне школьной программы.
Поскольку деятельность руководителя творческой работой является пока не освоенной учителями, однако у многих есть желание заниматься творчеством с детьми. Поэтому есть необходимость в создании методического средства, которое помогло бы учителям в освоении идеи руководства творческой работой детей, а в частности руководства детским математическим исследованием.
Глава 2. Средства обеспечения выполнения творческих работ по математике
1. Творческая тетрадь для шестого класса по теме Признак делимости на 11 натуральных чисел
Настоящий параграф посвящен одному из средств обеспечения выполнения творческих работ по математике, которое мы назвали творческой тетрадью. Творческая тетрадь - это особым образом оформленная система заданий и мест для решения, выстроенная в соответствии с логикой разворачивания исследовательской задачи. Далее будет описано содержание тетради, ее структура, нормы оформления, а также анализ апробации и методика работы с ней.
.1.1 Материал и содержание творческой работы
Особое место в школьной программе занимает изучение теории целых чисел. Признаки делимости чисел являются важным элементом этой теории. Они быстро позволяют определить, делится ли одно число на другое в том случае если не нужно знать результата деления. В школьной программе признаки делимости изучаются в пятом классе. Поэтому можно ожидать, что шестикласснику постановка задачи поиска признака делимости является знакомой и понятной, а поиск новых признаков может быть интересным и полезным. Т.е. не потребуется особых действий по включению ребенка в проблему. Поэтому мы решили в качестве темы для творческой работы выбрать признак делимости на число, который шестикласснику еще не известен, а именно делимости на 11.
В [11] мы нашли идею доказательства этого признака и его словесную формулировку:
Если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.
Мы сформулировали этот признак на математическом языке, используя позиционную запись числа, и получили строгое доказательство, следующего утверждения.
Пусть произвольное натуральное число.
Теорема 1. Если, при , делится на 11;
при , делится на 11,
то число делится на 11.
Пытаясь провести строгое доказательство теоремы 1, мы заметили, что признак можно легко распространить на произвольную систему счисления, т.е. получить признак делимости на в системе счисления по основанию .
Пусть произвольное число, - основание системы счисления, {0, 1, …, }.
Теорема 2. Если, при , делится на ;
при , делится на ,
то число делится на .
Доказательство теоремы 2. По условию делится на при . Докажем, что число делится на .
Рассмотрим позиционную запись числа:
.
Из условия известно, что делится на . Выделим в позиционной записи числа слагаемое . Имеем:
. Полученное выражение делится на . Действительно, делится на по условию. Оставшиеся слагаемы, также делятся на .
Действительно, распишем при помощи формулы разности квадратов, . Видим, что один из множителей делится на значит, произведение делится на . Разложим в произведение двух множителей при помощи формулы суммы нечетных степеней формула заимствована из [5], получим . Видим, что один из множителей произведения делится на значит, произведение делится на , значит и делится на . Проведя аналогичные рассуждения для остальных слагаемых , , …, , получим, что они делятся на .
Итак, делится на , а значит, делится на .
Доказательство теоремы 2 для в точности повторяет доказательство теоремы 2 для .
Заметим, что доказательство теоремы 1 получается из доказательства теоремы 2 подстановкой вместо числа 11, а вместо числа 10.
Заметим, что, вообще говоря, признак выполняется и в другую сторону, т.е. справедливо
Утверждение. Если делится на , то
при , делится на ,
а при , делятся на .
Помимо обобщения и обоснования признака делимости для определения содержания творческой работы был выполнен анализ нескольких творческих работ по теме Признаки делимости на 11, выполненных учащимися 6 -7 классов гимназии Универс г. Красноярска. Анализ работ показал, что шестиклассники могут провести исс?/p>