Творческая тетрадь как средство обеспечения выполнения творческих работ по математике для учащихся 6 классов

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика

2, 12]. Например, вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей (рис. 2.2). Суммы чисел, стоящих вдоль восходящих диагоналей, образуют последовательность чисел Фибоначчи. Если, спускаясь по центральному столбцу, из каждого числа вычитать соседнее справа (или слева), то возникает последовательность чисел Каталана.

 

рис. 2.2

 

Таким образом, биномиальные коэффициенты можно найти при помощи треугольника Паскаля и выведенного правила. Однако этот способ не всегда удобен для получения биномиальных коэффициентов.

Разберем второй способ нахождения биномиальных коэффициентов, связанный с поиском числа сочетаний, которые принято обозначать или - число сочетаний из n по k элементов.

Рассмотрим известные формулы:

 

и

 

Раскроем скобки в правой части этих равенств, причем будем записывать все множители в том порядке, в котором они нам встретятся:

 

 

Видно, что в формулу квадрата суммы входят все сочетания, составленные из букв a и b по две буквы, а в формулу куба суммы - сочетания из тех же букв, но состоящие из трех букв каждое. То же самое будет и в общем случае:

 

 

 

 

мы получим всевозможные сочетания с повторениями букв x и y, состоящие из n элементов[4].

Теперь найдем формулу для получения числа сочетаний, т.е. биномиальных коэффициентов. Для этого рассмотрим уже известные формулы. Однако так как сочетания для x и y повторяются, то будем рассматривать сочетания по числу вхождений в них х.

Итак, для получаем, что в рассматриваемом множестве два элемента , тогда получаем число сочетаний из двух элементов по два равно единице (два элемента из двух мы можем выбрать только единственным образом); число сочетаний из двух элементов по одному равно двум, число сочетаний из двух элементов по нулю элементов равно единице: , , - биномиальные коэффициенты. Получили формулу:

 

 

Для получаем множество из трех элементов , тогда получаем, что число сочетаний из трех элементов по три равно единице ; число сочетаний из трех элементов по два равно трем , число сочетаний из трех элементов по одному равно трем , число сочетаний из трех элементов по нулю элементов равно . Получили формулу:

 

.

 

рис. 2.3

 

Теперь проведем рассуждения для . Рассмотрим множество из пяти элементов . Найдем число сочетаний из пяти элементов по два, рассуждая следующим образом: во множестве пять элементов, каждый из которых может быть взят в паре с другими, четырьмя способами (рис. 2.3), но среди получившихся сочетаний встречаются повторяющиеся, каждая пара повторяется еще раз, поэтому получаем формулу: . Подобные рассуждения проводятся и для сочетаний с другим количеством элементов.

Рассмотрим общий случай, т.е. множество из элементов. Найдем число сочетаний из элементов по два: во множестве элементов, каждый из которых может быть взят в паре с другим способом (рис. 2.4), но среди них есть повторяющиеся, каждая пара повторяется еще раз, поэтому получаем формулу:

 

.

 

Проводя рассуждения при выводе общей формулы для числа сочетаний , где k большое число, легко запутаться. Поэтому предлагаем проводить рассуждения для k = 3, 4, 5, 6,7.

Проводя подобные рассуждения для других случаев будем получать следующие формулы:

 

;

; … … … …; =

==.

 

Формулы для , , ,- очевидны.

Таким образом, формулы биномиальных коэффициентов найдены. Получаем следующее разложение для формулы :

.

 

Данное разложение называется формулой бинома Ньютона.

Формулу называют формулой бинома Ньютона, но это название с точки зрения истории неверно. Формулу для хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэддин и др. Заслуга же Ньютона в том, что ему удалось обобщить формулу на случай нецелых показателей [4].

Таким образом, мы вывели разложение формулы бинома Ньютона, которая является обобщением формул и ; два способа нахождения биномиальных коэффициентов: через треугольник Паскаля и формулу числа сочетаний .

Бином Ньютона можно обобщить по количеству слагаемых, т.е. найти разложение для , однако вывод данной формул является довольно сложным для школьника. Поэтому рассмотрим частный случай формулы, формулу для суммы трех переменных, т.е. для тринома. Выведем разложение для тринома , а также арифметическую таблицу триномиальных коэффициентов.

Рассмотрим ряд формул, являющихся частными случаями для , которые можно получить раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

 

 

 

 

рис. 2.5

 

Построим арифметическую таблицу из триномиальных коэффициентов, данная таблица будет представлять собой пирамиду, которую называют пирамидой Паскаля (рис. 2.5). Видим, что по трем внешним ребрам пирамиды стоят единицы. Каждая из трех боковых граней представляет собой треугольник Паскаля. В n-ом сечении (треугольнике) пирамиды (n ? 0), параллельном основанию, располагаются триномиальные коэффициенты (которые обозначаются ) подобно биномиальным коэффициентам в треугольнике Паскаля.

Рассмотрим сечения пирамиды для , и (рис. 2.6):

 

рис. 2.6

 

Видим, что коэффициенты, лежащие внутри сечения пирамиды в углу, равны сумме двух коэффициентов располагающихся на внешней стороне сечения, которые лежат на одной прямой с ?/p>