Творческая тетрадь как средство обеспечения выполнения творческих работ по математике для учащихся 6 классов
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
вящен описанию второго из разработанных нами средств, которое представляет собой комплект учебно-исследовательских материалов, обеспечивающих постановку подростком творческой задачи, а также процесс ее решения.
.2.1 Общая характеристика материалов
Для организации исследования школьников 7 - 8 классов нами был разработан учебный комплект материалов по теме Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона, содержащий:
1.Учебную тетрадь по теме: Обобщение распределительного закона. Доказательство истинности полученных в результате обобщения утверждений.
2.Список тем творческих работ и описание возможных путей исследования материала.
. Аннотацию к литературе по темам творческих работ.
Разработанная нами учебная тетрадь организует учебно-исследовательскую деятельность подростка и приводит учащихся к постановке задачи творческой работы. Кроме этого, в процессе работы с тетрадью создаются условия для осуществления выбора учащимися уровня самостоятельности в исследовании, средств для исследования.
Список тем творческих работ и указанием на возможные пути исследования материала. Список тем дает ученику свободу выбора темы для творческой работы, которая будет ему интересна, а также будет соответствовать уровню его подготовки. Кроме этого, список с описанием путей исследования дает возможность знать ребенку о имеющихся путях развития выбранной им темы.
Аннотация к литературе. Представлен список аннотированной литературы, в которой содержатся ответы на некоторые вопросы по заданной теме. Каждый из источников имеет подробную характеристику, с описанием вопросов, которые освещаются в книге и имеют непосредственное отношение к творческой работе.
.2.2 Возможное содержание творческой работы
Одной из главных задач разработки учебно-исследовательского комплекта была разработка содержания творческой работы по теме: Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона. Так как творческих работ на эту тему написано не было, то встала необходимость в проведении самостоятельного исследования, чтобы выделить возможные пути обобщения формул сокращенного умножения по степени, по количеству слагаемых, а также трудности, которые могут возникнуть в процессе исследования материала. Описание данного исследования с выделением трудностей и будет представлено в данном пункте.
В седьмом классе на уроках математики изучаются формулы сокращенного умножения: и . Эти равенства могут быть обобщены школьниками по степени до формулы, дающей разложение для . Выпишем ряд формул, являющихся частными случаями для , которые можно получить раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
(2.1)
Проведя анализ этих формул, можно выделить следующие свойства:
.Количество слагаемых в правой части равенства на единицу больше степени, в которую был возведен двучлен - бином (от латинского bis - дважды и греческого номос - член) [7] - сумма двух членов. Поэтому, при возведении бинома в n-ю степень число слагаемых будет равно .
.Сумма степеней членов бинома при разложении равна степени, в которую возводился бином. Например:
, видим, что ;
; ; .
3.В правой части равенства степень у одного из членов бинома от наибольшей постепенно уменьшается на 1 до нулевой степени, а у другого одновременно с этим увеличивается с нулевой степени до степени, в которую возводился бином.
4.Коэффициенты при членах бинома с наибольшей степенью равны 1.
Зная эти свойства, получаем следующее разложение для формулы , биномиальные коэффициенты которой пока неизвестны:
Для получения полного разложения формулы необходимо найти, чему равны биномиальные коэффициенты.
Продолжая анализ формул (2.1), выпишем все биномиальные коэффициенты в виде треугольной таблицы:
или
Данная таблица называется арифметическим треугольником или, треугольником Паскаля, в честь выдающегося французского математика и философа XVII века Блез Паскаля (1623-1662) [3]. Она является одной из самых знаменитых таблиц в истории математики. Паскаль посвятил ей специальный Трактат об арифметическом треугольнике. Однако эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года, даты выхода труда Паскаля. Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного Петром Апианом, астрономом из Ингольштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге Яшмовое зеркало четырех элементов китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, не только поэт и философ, но и математик, знал о существовании треугольника коло 1100 года, а в свою очередь заимствовал его из более ранних китайских или индийских источников. Но именно Паскаль обобщил известные и привел много новых свойств треугольника, которые сформулированы в девятнадцати теоремах [12].
рис. 2.1
Рассмотрим арифметическую таблицу, выписанную в виде равнобедренного треугольника (рис. 2.1.) Видим, что в нем на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Строка с номером n состоит из коэффициентов разложения бинома .
Треугольник Паскаля содержит и другие свойства, о которых можно прочитать в [